Considere um objeto sujeito a uma força F1 dada por F1=(y, 2 x^2). Calcule o trabalho dessa força do ponto r=(0,0) até o ponto r=(1,1) nos seguintes caminhos:
y=x^3

Passo 1

O enunciado dá o campo de força F1(x,y)=(y,2x^2) e pede o trabalho de F1 ao mover uma partícula de (0,0) até (1,1) pelo caminho y=x^3. O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial, onde
W = integralCFcdot dr
Vamos parametrizar a curva, achar dx e dy, substituir na integral e calcular.

Passo 2

Parametrizamos a curva por
x = t, y = t^3, tin[0,1]
Daí
dx = dt, dy = 3t^2,dt

Passo 3

O elemento de trabalho é
Fcdot dr = y,dx + 2x^2,dy
Substituindo y=t^3, x=t, dx=dt e dy=3t^2dt, fica
y,dx + 2x^2,dy = t^3,dt + 2t^2,(3t^2,dt) = l(t^3 + 6t^4r),dt

Passo 4

Agora integramos de t=0 a t=1:
W = integral0^1 l(t^3 + 6t^4r),dt = integral0^1 t^3,dt + 6integral0^1 t^4,dt = [t^44]0^1 +6[t^55]0^1 = 14 + 65 = 2920

Resposta

2920

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