Considere um objeto sujeito a uma força F1 dada por F1=(y, 2 x^2). Calcule o trabalho dessa força do ponto r=(0,0) até o ponto r=(1,1) nos seguintes caminhos:
y=x^2

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força F1=(y,2x^2) ao longo do caminho de r=(0,0) até r=(1,1) definido por y=x^2. Para isso vamos usar a definição de trabalho como integral de linha de um campo vetorial:
W=integralCF1cdot dr

Passo 2

Parametrizamos a curva C por
r(t)=(x(t),y(t))=(t,,t^2), tin[0,1]
Então
dr=(dx,dy)=(dt,,2t,dt)

Passo 3

Em função de t, a força fica
F1l(r(t)r)=(y,2x^2)=(t^2,2t^2)
e o produto escalar
F1l(r(t)r)cdot dr = (t^2,2t^2)cdot(dt,2t,dt) = t^2,dt+4t^3,dt = l(t^2+4t^3r),dt

Passo 4

Integramos de t=0 a t=1:
W = integral0^1l(t^2+4t^3r),dt = integral0^1t^2,dt + 4integral0^1t^3,dt = [t^33]0^1 + 4[t^44]0^1 = 13+1 = 43

Resposta

O trabalho da força ao longo de y=x^2 de (0,0) até (1,1) é tfrac43.

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