Considere os observáveis A=x^{2} e B=L_{z}.
(a) Construa o princícpio de incerteza para \sigma_{A} \sigma_{B}. Dîca: Use a expressão para o princípio de incerteza generalizado.
(b) Calcule \sigma_{B} no estado \psi_{n l m} do átomo de hidrogênio.
(c) O que se pode concluir sobre \langle x y\rangle neste estado?
Passo 1
O enunciado dá:
Observáveis \hat A = x^{2} e \hat B = L_{z}.
Estado considerado para (b) e (c): \psi_{n l m} do átomo de hidrogênio.
O que é pedido:
(a) Construir o princípio de incerteza para \sigma_{A}\sigma_{B}.
(b) Calcular \sigma_{B} no estado \psi_{n l m}.
(c) Concluir o que acontece com \langle x y\rangle nesse estado.
Informações úteis que usarei sem perguntar: a representação do operador momento e de L_z em coordenadas cartesianas:
\hat p_j = -i\hbar \frac{\partial}{\partial j}\quad(j=x,y,z), \qquad \hat L_z = \hat x \hat p_y - \hat y \hat p_x.
Passo 2
Lembrete do princípio de incerteza generalizado (forma de Robertson):
definições:
Aqui \langle\cdot\rangle é esperança no estado considerado e [\hat A,\hat B]=\hat A\hat B-\hat B\hat A é o comutador. Vou aplicar essa fórmula com \hat A=x^{2} e \hat B=L_{z}.
Passo 3
Cálculo do comutador [\hat x^{2},\hat L_{z}].
Escrevo \hat L_{z}=\hat x\hat p_{y}-\hat y\hat p_{x}, então
\boxed{\;\sigma_{A}\sigma_{B}=\sigma_{x^{2}}\sigma_{L_{z}}\ge \hbar\,\big|\langle x y\rangle\big|\;}.
Explicação: \sigma_{x^{2}} é a raiz de \langle x^{4}\rangle-\langle x^{2}\rangle^{2} e \sigma_{L_{z}} é a raiz de \langle L_{z}^{2}\rangle-\langle L_{z}\rangle^{2}. A desigualdade acima decorre diretamente do comutador calculado.
Passo 5
Parte (b): calcular \sigma_{B}=\sigma_{L_{z}} no estado \psi_{n l m}.
Propriedade do estado \psi_{n l m}: é autovetor de \hat L_{z} com autovalor \hbar m, ou seja
Comentário amigável: isso faz sentido físico — em um estado com m bem definido, L_{z} é uma quantidade certa (sem dispersão).
Passo 6
Parte (c): concluir sobre \langle x y\rangle no estado \psi_{n l m}.
Usando a desigualdade do Passo 4:
\sigma_{x^{2}}\sigma_{L_{z}}\ge \hbar\,\big|\langle x y\rangle\big|.
No estado \psi_{n l m} temos \sigma_{L_{z}}=0 (Passo 5), então o lado esquerdo é zero. Assim
0 \ge \hbar\,\big|\langle x y\rangle\big|.
Como \hbar>0, a única possibilidade é
\boxed{\;\langle x y\rangle = 0\; }.
Complemento (intuição/simetria): pode-se ver também diretamente usando coordenadas esféricas e a dependência azimutal dos harmônicos esféricos: x y = r^{2}\sin^{2}\theta\cos\varphi\sin\varphi = \tfrac{1}{2}r^{2}\sin^{2}\theta\sin 2\varphi. A parte angular do estado \psi_{n l m} tem fator e^{i m\varphi}, e a integral em \varphi de \sin 2\varphi sobre 0 a 2\pi é zero, levando novamente a \langle x y\rangle=0.
Resposta
(a) \sigma_{x^{2}}\sigma_{L_{z}}\ge \hbar\,\big|\langle x y\rangle\big|
(b) \sigma_{L_{z}}=0 no estado \psi_{n l m}
(c) \langle x y\rangle=0