(a) A partir das relações básicas de comutação para os operadores posição e momentum, desenvolva e obtenha os seguinte comutadores:
(b) Use estes resultados para obter
diretamente da decomposição de
(c) Calcule os comutadores
e
(onde
e
).
(d) Mostre que o Hamiltoniano
comuta com todas as três componentes de
, uma vez que
. (Isto mostra que
e
são observáveis mutualmente compatíveis.)
(d) Mostre que o Hamiltoniano
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas bem claras; vou listar cada pergunta e as informações que temos para trabalhar (sem resolver ainda):
-
(a) Desenvolver e obter estes comutadores:onde se usa a definição usual de
-
(b) A partir desses resultados, mostrar queusando a decomposição
(isto é, , etc.). -
(c) Calcular os comutadores
e , onde e . -
(d) Mostrar que o Hamiltoniano
comuta com todas as componentes de , assumindo que é função apenas da posição (ou mais especificamente um potencial central dependente de ): isto é, para .
Informações básicas que usarei (dados do problema, sem resolver ainda):
- Relações canônicas de comutação (quantidade fundamental):
onde é o delta de Kronecker ( se , 0 caso contrário). - Fórmulas úteis para manipular comutadores (identidades que vou usar constantemente):
e a identidade essencial
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Pequena revisão (didática) sobre comutadores e as regras que vou usar:
- O comutador é definido por
. - Uso linearidade e a identidade
. Isto permite reduzir comutadores entre um operador e um produto em combinações mais simples. - As relações canônicas significam, por exemplo, que
etc. Vou aplicar isso repetidamente. - Importante: coordenadas espaciais entre si comutam (
), e componentes de momentum entre si também comutam ( ). Isso simplifica termos do tipo ou .
Passo 3
Vamos calcular
passo a passo, com
.
Usando
e aplicando a identidade
, escrevo
Trabalhando cada termo:
-
Para o primeiro termo:Como
e (pois e são componentes diferentes), temos . -
Para o segundo termo:Aqui
e (porque e são pares conjugados). Logo
Substituindo (lembre do sinal menos inicial),
Portanto chegamos a
Passo 4
Calcular
de modo análogo.
Começo por escrever
-
Primeiro termo:Aqui
e . Logo -
Segundo termo:mas
e , então esse termo vale .
Portanto
Passo 5
Calcular
.
Escrevo
-
Primeiro termo:Como
e , obtemos -
Segundo termo:todos os comutadores aqui são zero (
e ), então o segundo termo é 0.
Logo
Passo 6
Calcular
.
Escrevo
-
Primeiro termo:com
e , então vale 0. -
Segundo termo:Com
e , obtemos Lembre do sinal menos inicial, portanto
Passo 7
Calcular
e
rapidamente.
Para
:
Mas
. Aplicando a identidade, cada termo é zero, logo
Para
:
Como
e
, obtemos
Passo 8
Resumo dos resultados do item (a) (já obtidos passo a passo):
Passo 9
Agora (item b) usar esses resultados para calcular
.
Lembre:
. Então
Usando
em cada termo:
Substituo os comutadores que já calculei:
-
, -
, -
, -
.
Portanto
Isto é
Mas
. Logo
que é exatamente o resultado desejado.
Passo 10
Comentário didático curto: a identidade de comutação entre componentes do momento angular
é obtida seguindo exatamente esse tipo de cálculo (aqui mostramos explicitamente um caso com
). A estrutura antissimétrica com o símbolo de Levi-Civita
aparece por conta das trocas entre coordenadas e momentos nas expressões de
.
Passo 11
Item (c): calcular
.
Escrevo
e uso linearidade:
Para um operador
vale a identidade
. Assim:
-
Mas, então . Logo -
-
(pois ).
Somando:
Portanto
.
Passo 12
Agora calcular
onde
. Mesma ideia:
Usando
e os resultados do Passo 6:
-
Como, temos . Então -
-
(pois ).
Somando:
Portanto
.
Passo 13
Item (d): mostrar que
comuta com as componentes de
, assumindo que
depende apenas da posição de forma rotacionalmente invariante (potencial central). Vou explicar o raciocínio de forma didática.
-
Já mostrei que
. Como é apenas um escalar multiplicando , segue imediatamente que -
Para o termo
: se é função apenas de (ou de ), ou seja com , então pode ser vista como uma função (por ex. através de série de potências) de . Como mostrei , então qualquer função comutará com . Raciocínio técnico: se tem expansão em potências , então porque implica por indução. Portanto -
Somando os dois resultados, obtemos
-
O mesmo argumento vale para
e : por simetria (ou repetindo as contas com permutações de ) temos e para ; logo para todas as três componentes.
Conclusão física e prática: para um potencial central
o Hamiltoniano é invariante por rotações, e por isso
comuta com
. Consequentemente
,
e uma componente (por exemplo
) podem ser diagonalizados simultaneamente — são observáveis mutuamente compatíveis.
Resposta
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(b)
(c)
(c)
(c)
(d)
para
(isto é,
comuta com todas as componentes de
quando
).