(a) A partir das relações básicas de comutação para os operadores posição e momentum, desenvolva e obtenha os seguinte comutadores:
\begin{array}{rlrl} {\left[L_{z}, x\right]} & =i \hbar y, & {\left[L_{z}, y\right]} & =-i \hbar x, \\\ {\left[L_{z}, p_{x}\right]} & =i \hbar p_{y}, & {\left[L_{z}, p_{y}\right]} & =-i \hbar p_{x}, \\\ \left.L_{z}, z\right] & =0 \\\ l & L_{z}, p_{z} & =0 \end{array}
(b) Use estes resultados para obter \left[L_{z}, L_{x}\right]=i \hbar L_{y} diretamente da decomposição de
\mathbf{L}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}
(c) Calcule os comutadores \left[L_{z}, r^{2}\right] e \left[L_{z}, p^{2}\right] (onde r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} e p^{2}=p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2} ).
(d) Mostre que o Hamiltoniano H=\left(p^{2} / 2 m\right)+V comuta com todas as três componentes de \mathbf{L}, uma vez que V=V(\mathbf{r}). (Isto mostra que H, L^{2} e L_{z} são observáveis mutualmente compatíveis.)

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas bem claras; vou listar cada pergunta e as informações que temos para trabalhar (sem resolver ainda):
  • (a) Desenvolver e obter estes comutadores:
    \begin{array}{rlrl} {\left[L_{z}, x\right]} & =i \hbar y, & {\left[L_{z}, y\right]} & =-i \hbar x, \\\ {\left[L_{z}, p_{x}\right]} & =i \hbar p_{y}, & {\left[L_{z}, p_{y}\right]} & =-i \hbar p_{x}, \\\ \left[L_{z}, z\right] & =0, & \left[L_{z}, p_{z}\right] & =0, \end{array}
    onde se usa a definição usual de \,L_{z}=x p_{y}-y p_{x}.
  • (b) A partir desses resultados, mostrar que
    \left[L_{z}, L_{x}\right]=i\hbar L_{y}
    usando a decomposição \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p} (isto é, L_x = y p_z - z p_y, etc.).
  • (c) Calcular os comutadores \left[L_{z}, r^{2}\right] e \left[L_{z}, p^{2}\right], onde r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} e p^{2}=p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}.
  • (d) Mostrar que o Hamiltoniano H=\dfrac{p^{2}}{2m}+V comuta com todas as componentes de \mathbf{L}, assumindo que V é função apenas da posição (ou mais especificamente um potencial central dependente de r): isto é, [H,L_i]=0 para i=x,y,z.
Informações básicas que usarei (dados do problema, sem resolver ainda):
  • Relações canônicas de comutação (quantidade fundamental): [x_i,p_j]=i\hbar\,\delta_{ij},\qquad [x_i,x_j]=0,\qquad [p_i,p_j]=0,onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker ( \delta_{ij}=1 se i=j, 0 caso contrário).
  • Fórmulas úteis para manipular comutadores (identidades que vou usar constantemente): [A,B+C]=[A,B]+[A,C],\quad [\alpha A,B]=\alpha[A,B]\\ (\alpha\\ \text{constante}),e a identidade essencial [A,BC]=[A,B]C + B[A,C].
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Pequena revisão (didática) sobre comutadores e as regras que vou usar:
  • O comutador é definido por [A,B]=AB-BA.
  • Uso linearidade e a identidade [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]. Isto permite reduzir comutadores entre um operador e um produto em combinações mais simples.
  • As relações canônicas significam, por exemplo, que [x,p_x]=i\hbar,\\ [x,p_y]=0, etc. Vou aplicar isso repetidamente.
  • Importante: coordenadas espaciais entre si comutam ( [x,y]=0), e componentes de momentum entre si também comutam ( [p_x,p_y]=0). Isso simplifica termos do tipo xy ou p_x p_y.

Passo 3

Vamos calcular [L_{z},x] passo a passo, com L_z=x p_y - y p_x.
Usando [A, B+C]=[A,B]+[A,C] e aplicando a identidade [A,BC], escrevo
[L_z,x]=[x p_y,x]-[y p_x,x].
Trabalhando cada termo:
  • Para o primeiro termo:
    [x p_y,x]=x[p_y,x]+[x,x]p_y.
    Como [x,x]=0 e [p_y,x]= -[x,p_y]= -i\hbar\,\delta_{xy}=0 (pois x e p_y são componentes diferentes), temos [x p_y,x]=0.
  • Para o segundo termo:
    [y p_x,x]=y[p_x,x]+[y,x]p_x.
    Aqui [y,x]=0 e [p_x,x]= -[x,p_x]= -i\hbar (porque x e p_x são pares conjugados). Logo
    [y p_x,x]=y(-i\hbar) = -i\hbar y.
Substituindo (lembre do sinal menos inicial),
[L_z,x]=0 - (-i\hbar y)=i\hbar y.
Portanto chegamos a \displaystyle [L_z,x]=i\hbar y.

Passo 4

Calcular [L_{z},y] de modo análogo.
Começo por escrever
[L_z,y]=[x p_y,y]-[y p_x,y].
  • Primeiro termo:
    [x p_y,y]=x[p_y,y]+[x,y]p_y.
    Aqui [x,y]=0 e [p_y,y]= -[y,p_y]= -i\hbar. Logo
    [x p_y,y]=x(-i\hbar) = -i\hbar x.
  • Segundo termo:
    [y p_x,y]=y[p_x,y]+[y,y]p_x,
    mas [p_x,y]= -[y,p_x]=0 e [y,y]=0, então esse termo vale 0.
Portanto
[L_z,y]=-i\hbar x.

Passo 5

Calcular [L_{z},p_{x}].
Escrevo
[L_z,p_x]=[x p_y,p_x]-[y p_x,p_x].
  • Primeiro termo:
    [x p_y,p_x]=x[p_y,p_x]+[x,p_x]p_y.
    Como [p_y,p_x]=0 e [x,p_x]=i\hbar, obtemos
    [x p_y,p_x]=i\hbar p_y.
  • Segundo termo:
    [y p_x,p_x]=y[p_x,p_x]+[y,p_x]p_x,
    todos os comutadores aqui são zero ( [p_x,p_x]=0 e [y,p_x]=0), então o segundo termo é 0.
Logo
[L_z,p_x]=i\hbar p_y.

Passo 6

Calcular [L_{z},p_{y}].
Escrevo
[L_z,p_y]=[x p_y,p_y]-[y p_x,p_y].
  • Primeiro termo:
    [x p_y,p_y]=x[p_y,p_y]+[x,p_y]p_y,
    com [p_y,p_y]=0 e [x,p_y]=0, então vale 0.
  • Segundo termo:
    [y p_x,p_y]=y[p_x,p_y]+[y,p_y]p_x.
    Com [p_x,p_y]=0 e [y,p_y]=i\hbar, obtemos
    [y p_x,p_y]=i\hbar p_x.
    Lembre do sinal menos inicial, portanto
    [L_z,p_y]=0 - i\hbar p_x = -i\hbar p_x.

Passo 7

Calcular [L_{z},z] e [L_{z},p_{z}] rapidamente.
Para [L_z,z]:
[L_z,z]=[x p_y,z]-[y p_x,z].
Mas [p_y,z]=0,\\ [x,z]=0,\\ [p_x,z]=0,\\ [y,z]=0. Aplicando a identidade, cada termo é zero, logo
[L_z,z]=0.
Para [L_z,p_z]:
[L_z,p_z]=[x p_y,p_z]-[y p_x,p_z].
Como [p_y,p_z]=[p_x,p_z]=0 e [x,p_z]=[y,p_z]=0, obtemos
[L_z,p_z]=0.

Passo 8

Resumo dos resultados do item (a) (já obtidos passo a passo):
\begin{aligned} [L_z,x] &= i\hbar\, y, &\qquad [L_z,y] &= -i\hbar\, x, &\qquad [L_z,z] &= 0,\\[4pt] [L_z,p_x] &= i\hbar\, p_y, &\qquad [L_z,p_y] &= -i\hbar\, p_x, &\qquad [L_z,p_z] &= 0. \end{aligned}]

Passo 9

Agora (item b) usar esses resultados para calcular [L_z,L_x].
Lembre: L_x = y p_z - z p_y. Então
[L_z,L_x] = [L_z, y p_z] - [L_z, z p_y].
Usando [A,BC]=[A,B]C+B[A,C] em cada termo:
[L_z, y p_z] = [L_z,y] p_z + y [L_z,p_z],
[L_z, z p_y] = [L_z,z] p_y + z [L_z,p_y].
Substituo os comutadores que já calculei:
  • [L_z,y]=-i\hbar x,
  • [L_z,p_z]=0,
  • [L_z,z]=0,
  • [L_z,p_y]=-i\hbar p_x.
Portanto
[L_z,L_x]=(-i\hbar x)p_z + y\cdot 0 - 0\cdot p_y - z(-i\hbar p_x).
Isto é
[L_z,L_x]= -i\hbar x p_z + i\hbar z p_x = i\hbar\,(z p_x - x p_z).
Mas z p_x - x p_z = L_y. Logo
[L_z,L_x]=i\hbar L_y,
que é exatamente o resultado desejado.

Passo 10

Comentário didático curto: a identidade de comutação entre componentes do momento angular
[L_i,L_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}L_k
é obtida seguindo exatamente esse tipo de cálculo (aqui mostramos explicitamente um caso com i=z,j=x). A estrutura antissimétrica com o símbolo de Levi-Civita \epsilon_{ijk} aparece por conta das trocas entre coordenadas e momentos nas expressões de \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}.

Passo 11

Item (c): calcular [L_z,r^{2}].
Escrevo r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} e uso linearidade:
[L_z,r^{2}]=[L_z,x^{2}]+[L_z,y^{2}]+[L_z,z^{2}].
Para um operador B vale a identidade [A,B^{2}]=[A,B]B + B[A,B]. Assim:
  • [L_z,x^{2}]=[L_z,x]x + x[L_z,x]= (i\hbar y)x + x(i\hbar y)=i\hbar(yx+xy).
    Mas [x,y]=0, então yx+xy=2xy. Logo [L_z,x^{2}]=i\hbar\,2xy.
  • [L_z,y^{2}]=[L_z,y]y + y[L_z,y]=(-i\hbar x)y + y(-i\hbar x)=-i\hbar(xy+yx)=-i\hbar\,2xy.
  • [L_z,z^{2}]=0 (pois [L_z,z]=0).
Somando:
[L_z,r^{2}]=i\hbar\,2xy - i\hbar\,2xy + 0 = 0.
Portanto [L_z,r^{2}]=0.

Passo 12

Agora calcular [L_z,p^{2}] onde p^{2}=p_x^{2}+p_y^{2}+p_z^{2}. Mesma ideia:
[L_z,p^{2}]=[L_z,p_x^{2}]+[L_z,p_y^{2}]+[L_z,p_z^{2}].
Usando [A,B^{2}]=[A,B]B + B[A,B] e os resultados do Passo 6:
  • [L_z,p_x^{2}]=[L_z,p_x]p_x + p_x[L_z,p_x] = (i\hbar p_y)p_x + p_x(i\hbar p_y)=i\hbar(p_y p_x + p_x p_y).
    Como [p_x,p_y]=0, temos p_y p_x + p_x p_y = 2 p_x p_y. Então [L_z,p_x^{2}]=i\hbar\,2 p_x p_y.
  • [L_z,p_y^{2}]=[L_z,p_y]p_y + p_y[L_z,p_y]=(-i\hbar p_x)p_y + p_y(-i\hbar p_x) = -i\hbar(p_x p_y + p_y p_x) = -i\hbar\,2 p_x p_y.
  • [L_z,p_z^{2}]=0 (pois [L_z,p_z]=0).
Somando:
[L_z,p^{2}] = i\hbar\,2 p_x p_y - i\hbar\,2 p_x p_y + 0 = 0.
Portanto [L_z,p^{2}]=0.

Passo 13

Item (d): mostrar que H=\dfrac{p^{2}}{2m}+V comuta com as componentes de \mathbf{L}, assumindo que V depende apenas da posição de forma rotacionalmente invariante (potencial central). Vou explicar o raciocínio de forma didática.
  • Já mostrei que [L_z,p^{2}]=0. Como \dfrac{p^{2}}{2m} é apenas um escalar multiplicando p^2, segue imediatamente que
    \left[L_z,\dfrac{p^{2}}{2m}\right]=\dfrac{1}{2m}[L_z,p^{2}]=0.
  • Para o termo V: se V é função apenas de r (ou de r^{2}), ou seja V=V(r) com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, então V pode ser vista como uma função (por ex. através de série de potências) de r^{2}. Como mostrei [L_z,r^{2}]=0, então qualquer função f(r^{2}) comutará com L_z. Raciocínio técnico: se F tem expansão em potências \,F(u)=\sum_{n} a_n u^n, então [L_z,F(r^2)]=\sum_n a_n [L_z,(r^2)^n]=0 porque [L_z,r^2]=0 implica [L_z,(r^2)^n]=0 por indução. Portanto
    [L_z,V]=0.
  • Somando os dois resultados, obtemos
    [L_z,H]=\left[L_z,\dfrac{p^{2}}{2m}\right]+[L_z,V]=0+0=0.
  • O mesmo argumento vale para L_x e L_y: por simetria (ou repetindo as contas com permutações de x,y,z) temos [L_i,p^{2}]=0 e [L_i,r^{2}]=0 para i=x,y,z; logo [L_i,H]=0 para todas as três componentes.
Conclusão física e prática: para um potencial central V(r) o Hamiltoniano é invariante por rotações, e por isso \mathbf{L} comuta com H. Consequentemente H, L^{2} e uma componente (por exemplo L_z) podem ser diagonalizados simultaneamente — são observáveis mutuamente compatíveis.

Resposta

(a) [L_z,x]=i\hbar\,y
(a) [L_z,y]=-i\hbar\,x
(a) [L_z,p_x]=i\hbar\,p_y
(a) [L_z,p_y]=-i\hbar\,p_x
(a) [L_z,z]=0
(a) [L_z,p_z]=0
(b) [L_z,L_x]=i\hbar\,L_y
(c) [L_z,r^{2}]=0
(c) [L_z,p^{2}]=0
(d) [H,L_i]=0 para i=x,y,z (isto é, H comuta com todas as componentes de \mathbf{L} quando V=V(r)).

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