Considere \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} e que P(\omega \in \Omega)=1 / 6 \forall \omega \in \Omega, ou seja, os elementos são equiprováveis. Além disso, considere que A=\{1,2,3\}, B=\{2,3,4\} e C=\{4,5,6\}. Calcule as seguintes probabilidades
P(B \cup C)

Passo 1

O enunciado dá o espaço amostral \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} com todos os elementos equiprováveis, ou seja, para todo \omega\in\Omega vale P(\omega)=\tfrac{1}{6}. São fornecidos os subconjuntos
A=\{1,2,3\},\qquad B=\{2,3,4\},\qquad C=\{4,5,6\}.
A pergunta única é: calcular P(B\cup C). Aqui eu não resolvo ainda — só organizei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

No caso de um espaço finito com probabilidades iguais, é muito prático usar a regra de contagem: a probabilidade de um evento E é
P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|},
onde |E| é o número de elementos do evento e |\Omega| é o número total de resultados possíveis. Também podemos usar a fórmula da união (princípio da inclusão-exclusão):
P(B\cup C)=P(B)+P\text{(C)}-P(B\cap C).
Vou usar as duas ideias: contar elementos do conjunto B\cup C diretamente e mostrar que a fórmula de inclusão-exclusão dá o mesmo resultado (isso ajuda a entender o porquê do ajuste pela interseção).

Passo 3

Peguei os conjuntos diretamente do enunciado:
B=\{2,3,4\},\qquad C=\{4,5,6\}.
A interseção é o que está em ambos:
B\cap C=\{4\}.
A união é o que está em pelo menos um dos dois:
B\cup C=\{2,3,4,5,6\}.
Agora os tamanhos (números de elementos):
|B|=3,\qquad |C|=3,\qquad |B\cap C|=1,\qquad |B\cup C|=5.
Também |\Omega|=6 (já que \Omega tem 6 elementos).

Passo 4

Usando a regra de contagem direta para espaços equiprováveis:
P(B\cup C)=\frac{|B\cup C|}{|\Omega|}=\frac{5}{6}.
Agora verifico pela fórmula da união (inclusão-exclusão) para ficar seguro e entender o porquê:
P(B\cup C)=P(B)+P\text{(C)}-P(B\cap C)=\frac{|B|}{6}+\frac{|C|}{6}-\frac{|B\cap C|}{6}=\frac{3}{6}+\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.
As duas formas coincidem, como esperado.

Passo 5

Resumo rápido e mental: a união B\cup C tem cinco resultados favoráveis ( 2,3,4,5,6) num total de seis resultados possíveis, então a probabilidade é \tfrac{5}{6}. Força aí — esse tipo de contagem é super útil na prova!

Resposta

\dfrac{5}{6}

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