Um inspetor de qualidade extrai uma amostra aleatória de 10 tubos armazenados num depósito onde, de acordo com os padrões de produção, se espera um total de 20 \% de tubos defeituosos,
(a) Qual e a probabilidade de que não mais do que 2 tubos extraídos sejam defeituosos?
(b) Se X denotar a variável “número de tubos defeituosos em 10 extrações independentes e aleatórias”, qual o seu valor esperado?
(c) Qual a variância?
Resposta: (a) 0,6778 (b) 2 (c) 1,6

Passo 1

O enunciado dá que se extrai uma amostra aleatória de 10 tubos e que, segundo o padrão, a probabilidade de um tubo ser defeituoso é 20\%. As perguntas são:
  1. (a) Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 tubos extraídos sejam defeituosos? (ou seja, P(X\le 2)).
  2. (b) Se X denotar o número de tubos defeituosos nas 10 extrações independentes, qual é o valor esperado de X?
  3. (c) Qual é a variância de X?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
n = 10,\quad p = 0,2,\quad 1-p = 0,8,\quad X = \text{número de defeituosos em }n\text{ ensaios.}ú

Passo 2

Vamos usar a distribuição binomial, pois temos um número fixo n de extrações independentes, cada extração tem apenas dois resultados (defeituoso ou não) e a probabilidade de defeito p é constante em cada extração.
A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente k defeituosos é
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
é o número de maneiras de escolher quais k entre os n são defeituosos. Aqui n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdots1. Vou usar essa fórmula para calcular P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).

Passo 3

Calculemos os coeficientes binomiais necessários:
\binom{10}{0}=1,\qquad \binom{10}{1}=10,\qquad \binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2\cdot1}=45.

Passo 4

Identificamos p=0,2 e 1-p=0,8. Agora calculamos cada termo.
Primeiro P(X=0):
P(X=0)=\binom{10}{0}(0,2)^{0}(0,8)^{10}=1\cdot 1\cdot (0,8)^{10}.
Vamos calcular (0,8)^{10} por potências sucessivas:
0,8^{2}=0,64,\quad 0,8^{3}=0,512,\quad 0,8^{4}=0,4096,\quad 0,8^{5}=0,32768,
0,8^{6}=0,262144,\quad 0,8^{7}=0,2097152,\quad 0,8^{8}=0,16777216,\quad 0,8^{9}=0,134217728,
0,8^{10}=0,1073741824.
Logo,
P(X=0)=0,1073741824.

Passo 5

Agora P(X=1):
P(X=1)=\binom{10}{1}(0,2)^{1}(0,8)^{9}=10\cdot 0,2\cdot 0,8^{9}.
Já temos 0,8^{9}=0,134217728. Então 10\cdot 0,2 = 2, e
P(X=1)=2\cdot 0,134217728=0,268435456.

Passo 6

Agora P(X=2):
P(X=2)=\binom{10}{2}(0,2)^{2}(0,8)^{8}=45\cdot (0,04)\cdot 0,8^{8}.
Como 0,2^{2}=0,04 e 0,8^{8}=0,16777216, temos 45\cdot 0,04=1,8, portanto
P(X=2)=1,8\cdot 0,16777216=0,301989888.

Passo 7

Somando os três termos para obter P(X\le 2):
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
P(X\le 2)=0,1073741824+0,268435456+0,301989888=0,6777995264\approx 0,6778.
Portanto a probabilidade pedida em (a) é aproximadamente 0,6778.

Passo 8

Agora a esperança (valor esperado) de uma binomial. Para X\sim\text{Binomial}(n,p) existe uma fórmula simples:
\mathbb{E}[X]=n p.
Intuição curta: X é soma de n variáveis de Bernoulli independentes com média p, então a soma tem média n p.
Aplicando aos nossos valores:
\mathbb{E}[X]=10\cdot 0,2=2.

Passo 9

A variância de uma binomial também tem fórmula padrão:
\mathrm{Var}(X)=n p (1-p).
Intuição curta: cada Bernoulli tem variância p(1-p) e somando n independentes obtemos n p(1-p).
Aplicando aos nossos valores:
\mathrm{Var}(X)=10\cdot 0,2\cdot 0,8=1,6.

Resposta

(a) 0,6778\n
(b) 2\n
(c) 1,6

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