Um inspetor de qualidade extrai uma amostra aleatória de 10 tubos armazenados num depósito onde, de acordo com os padrões de produção, se espera um total de
de tubos defeituosos,
(a) Qual e a probabilidade de que não mais do que 2 tubos extraídos sejam defeituosos?
(b) Se X denotar a variável “número de tubos defeituosos em 10 extrações independentes e aleatórias”, qual o seu valor esperado?
(c) Qual a variância?
Resposta: (a) 0,6778 (b) 2 (c) 1,6
(a) Qual e a probabilidade de que não mais do que 2 tubos extraídos sejam defeituosos?
(b) Se X denotar a variável “número de tubos defeituosos em 10 extrações independentes e aleatórias”, qual o seu valor esperado?
(c) Qual a variância?
Passo 1
O enunciado dá que se extrai uma amostra aleatória de
tubos e que, segundo o padrão, a probabilidade de um tubo ser defeituoso é
. As perguntas são:
- (a) Qual é a probabilidade de que não mais do que
tubos extraídos sejam defeituosos? (ou seja, ). - (b) Se
denotar o número de tubos defeituosos nas extrações independentes, qual é o valor esperado de ? - (c) Qual é a variância de
?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Vamos usar a distribuição binomial, pois temos um número fixo
de extrações independentes, cada extração tem apenas dois resultados (defeituoso ou não) e a probabilidade de defeito
é constante em cada extração.
A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente
defeituosos é
onde
é o número de maneiras de escolher quais
entre os
são defeituosos. Aqui
(fatorial) significa
. Vou usar essa fórmula para calcular
.
Passo 3
Calculemos os coeficientes binomiais necessários:
Passo 4
Identificamos
e
. Agora calculamos cada termo.
Primeiro
:
Vamos calcular
por potências sucessivas:
Logo,
Passo 5
Agora
:
Já temos
. Então
, e
Passo 6
Agora
:
Como
e
, temos
, portanto
Passo 7
Somando os três termos para obter
:
Portanto a probabilidade pedida em (a) é aproximadamente
.
Passo 8
Agora a esperança (valor esperado) de uma binomial. Para
existe uma fórmula simples:
Intuição curta:
é soma de
variáveis de Bernoulli independentes com média
, então a soma tem média
.
Aplicando aos nossos valores:
Passo 9
A variância de uma binomial também tem fórmula padrão:
Intuição curta: cada Bernoulli tem variância
e somando
independentes obtemos
.
Aplicando aos nossos valores:
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)