Descreva o espaço amostral para cada experimento
Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três vermelhas (V). Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda e é anotado a face; se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra.

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva o espaço amostral do experimento. Vou listar claramente o que o enunciado me dá e o que ele pede:
  • Dados fornecidos:
    • A urna contém duas bolas brancas e três bolas vermelhas. Vou representar “branca” por \mathrm{B} e “vermelha” por \mathrm{V}.
    • Retira-se uma bola ao acaso (primeira retirada).
    • Se a primeira bola for branca, lança-se uma moeda e anota-se a face obtida; vou representar as faces da moeda por \mathrm{H} (cara / heads) e \mathrm{T} (coroa / tails).
    • Se a primeira bola for vermelha, ela é devolvida à urna (ou seja, há reposição) e retira-se outra bola (segunda retirada). O enunciado não diz para continuar além da segunda retirada, então entendemos que há no máximo duas retiradas.
  • O que se pede:
    • Descrever o espaço amostral (conjunto de todos os resultados possíveis) do experimento composto descrito acima.

Passo 2

O que é “espaço amostral” e como vou representá‑lo:
  • Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento, listados como resultados finais distinguíveis.
  • Aqui o experimento é composto (tem ramos diferentes dependendo do que sair na primeira retirada), então os resultados do espaço amostral devem distinguir a sequência de eventos que ocorreram: resultado da(s) retirada(s) e, quando aplicável, a face da moeda.
  • Vou usar uma notação que descreve a sequência de acontecimentos, por exemplo:
    • (\mathrm{B},\mathrm{H}) significa "primeira retirada foi branca e a moeda deu \mathrm{H}".
    • (\mathrm{V},\mathrm{B},\mathrm{T}) significa "primeira retirada foi vermelha, ela foi reposta, segunda retirada foi branca e a moeda deu \mathrm{T}".
    • (\mathrm{V},\mathrm{V}) significa “primeira retirada vermelha, reposta, segunda retirada também vermelha” (nesse caso não há lançamento de moeda porque só se lança quando sai branca).

Passo 3

Identificação dos ramos do experimento (casos possíveis):
  • Ramo 1: Primeira retirada dá \mathrm{B}.
    • Neste caso eu lanço a moeda e registro \mathrm{H} ou \mathrm{T}.
    • Resultados possíveis deste ramo: (\mathrm{B},\mathrm{H}) e (\mathrm{B},\mathrm{T}).
  • Ramo 2: Primeira retirada dá \mathrm{V}.
    • A bola vermelha é reposta e faço uma segunda retirada.
    • Na segunda retirada podem ocorrer dois subcasos:
      • Segunda retirada dá \mathrm{B}. Então lanço a moeda e registro \mathrm{H} ou \mathrm{T}. Resultados: (\mathrm{V},\mathrm{B},\mathrm{H}) e (\mathrm{V},\mathrm{B},\mathrm{T}).
      • Segunda retirada dá \mathrm{V}. Como é vermelha, e o enunciado não pede nova ação após a segunda retirada, o resultado final é apenas (\mathrm{V},\mathrm{V}).

Passo 4

Montando o espaço amostral completo:
  • Juntando os resultados de todos os ramos, o espaço amostral contém exatamente os resultados listados abaixo:
    • (\mathrm{B},\mathrm{H})
    • (\mathrm{B},\mathrm{T})
    • (\mathrm{V},\mathrm{B},\mathrm{H})
    • (\mathrm{V},\mathrm{B},\mathrm{T})
    • (\mathrm{V},\mathrm{V})
  • Posso escrever isso de forma compacta como o conjunto \Omega=\{(\mathrm{B},\mathrm{H}),(\mathrm{B},\mathrm{T}),(\mathrm{V},\mathrm{B},\mathrm{H}),(\mathrm{V},\mathrm{B},\mathrm{T}),(\mathrm{V},\mathrm{V})\}.
  • Observação pedagógica: cada elemento de \Omega descreve a sequência de eventos que ocorreu até o término do experimento; essa é a forma natural de listar resultados quando um experimento tem decisões condicionais (a segunda ação depende do resultado da primeira).

Passo 5

Pequena verificação e comentário final (como usar esse espaço amostral na prova):
  • O espaço amostral acima é finito e enumerável, com 5 resultados distintos.
  • Se for necessário calcular probabilidades dos resultados, o procedimento é:
    • Calcular a probabilidade de chegar a cada ramo (por exemplo, probabilidade de primeira retirada branca é \tfrac{2}{5}; primeira vermelha é \tfrac{3}{5}; ao repor, a composição da urna volta a ser a mesma para a segunda retirada).
    • Multiplicar pelas probabilidades condicionais dos passos subsequentes (por exemplo, probabilidade de (\mathrm{B},\mathrm{H}) é \tfrac{2}{5}\times P(\mathrm{H}), se a moeda for justa então P(\mathrm{H})=\tfrac{1}{2}).
  • Se quiser, posso agora calcular as probabilidades numéricas de cada elemento de \Omega; isso facilita responder a perguntas sobre probabilidades de eventos (por exemplo, “probabilidade de terminar com uma branca” ou “probabilidade de sair duas vermelhas”).

Resposta

\Omega=\{(\mathrm{B},\mathrm{H}),(\mathrm{B},\mathrm{T}),(\mathrm{V},\mathrm{B},\mathrm{H}),(\mathrm{V},\mathrm{B},\mathrm{T}),(\mathrm{V},\mathrm{V})\}

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