Descreva o espaço amostral para cada experimento
Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três vermelhas (V). Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda e é anotado a face; se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra.
Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três vermelhas (V). Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda e é anotado a face; se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra.
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva o espaço amostral do experimento. Vou listar claramente o que o enunciado me dá e o que ele pede:
- Dados fornecidos:
- A urna contém duas bolas brancas e três bolas vermelhas. Vou representar “branca” por
e “vermelha” por . - Retira-se uma bola ao acaso (primeira retirada).
- Se a primeira bola for branca, lança-se uma moeda e anota-se a face obtida; vou representar as faces da moeda por
(cara / heads) e (coroa / tails). - Se a primeira bola for vermelha, ela é devolvida à urna (ou seja, há reposição) e retira-se outra bola (segunda retirada). O enunciado não diz para continuar além da segunda retirada, então entendemos que há no máximo duas retiradas.
- A urna contém duas bolas brancas e três bolas vermelhas. Vou representar “branca” por
- O que se pede:
- Descrever o espaço amostral (conjunto de todos os resultados possíveis) do experimento composto descrito acima.
Passo 2
O que é “espaço amostral” e como vou representá‑lo:
- Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento, listados como resultados finais distinguíveis.
- Aqui o experimento é composto (tem ramos diferentes dependendo do que sair na primeira retirada), então os resultados do espaço amostral devem distinguir a sequência de eventos que ocorreram: resultado da(s) retirada(s) e, quando aplicável, a face da moeda.
- Vou usar uma notação que descreve a sequência de acontecimentos, por exemplo:
-
significa "primeira retirada foi branca e a moeda deu ". -
significa "primeira retirada foi vermelha, ela foi reposta, segunda retirada foi branca e a moeda deu ". -
significa “primeira retirada vermelha, reposta, segunda retirada também vermelha” (nesse caso não há lançamento de moeda porque só se lança quando sai branca).
-
Passo 3
Identificação dos ramos do experimento (casos possíveis):
- Ramo 1: Primeira retirada dá
. - Neste caso eu lanço a moeda e registro
ou . - Resultados possíveis deste ramo:
e .
- Neste caso eu lanço a moeda e registro
- Ramo 2: Primeira retirada dá
. - A bola vermelha é reposta e faço uma segunda retirada.
- Na segunda retirada podem ocorrer dois subcasos:
- Segunda retirada dá
. Então lanço a moeda e registro ou . Resultados: e . - Segunda retirada dá
. Como é vermelha, e o enunciado não pede nova ação após a segunda retirada, o resultado final é apenas .
- Segunda retirada dá
Passo 4
Montando o espaço amostral completo:
- Juntando os resultados de todos os ramos, o espaço amostral contém exatamente os resultados listados abaixo:
-
- Posso escrever isso de forma compacta como o conjunto
- Observação pedagógica: cada elemento de
descreve a sequência de eventos que ocorreu até o término do experimento; essa é a forma natural de listar resultados quando um experimento tem decisões condicionais (a segunda ação depende do resultado da primeira).
Passo 5
Pequena verificação e comentário final (como usar esse espaço amostral na prova):
- O espaço amostral acima é finito e enumerável, com
resultados distintos. - Se for necessário calcular probabilidades dos resultados, o procedimento é:
- Calcular a probabilidade de chegar a cada ramo (por exemplo, probabilidade de primeira retirada branca é
; primeira vermelha é ; ao repor, a composição da urna volta a ser a mesma para a segunda retirada). - Multiplicar pelas probabilidades condicionais dos passos subsequentes (por exemplo, probabilidade de
é , se a moeda for justa então ).
- Calcular a probabilidade de chegar a cada ramo (por exemplo, probabilidade de primeira retirada branca é
- Se quiser, posso agora calcular as probabilidades numéricas de cada elemento de
; isso facilita responder a perguntas sobre probabilidades de eventos (por exemplo, “probabilidade de terminar com uma branca” ou “probabilidade de sair duas vermelhas”).