Considere uma onda eletromagnética em espaço livre com
\mathbf{E}=\hat{x} e^{j 3 \pi y}
a. Calcule \nabla \times \mathbf{E} e \nabla \cdot \mathbf{E} em coordenadas cartesianas e mostre que são consistentes com as equações de Maxwell.
b. Encontre a expressão correspondente para \mathbf{H}.
c. Quais são o comprimento de onda \lambda e a direção de propagação dessa onda?
d. Represente os valores de \mathbf{E}(y, t=0) e \mathbf{H}(y, t=0) como função da posição ao longo do eixo \hat{y}.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico fásor de uma onda no vácuo sem fontes:
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \hat{x}\,e^{j3\pi y}.
Queremos:
  1. Calcular em coordenadas cartesianas \nabla\times\mathbf{E} e \nabla\cdot\mathbf{E} e mostrar consistência com as equações de Maxwell no domínio da frequência (fonte livre).
  2. Determinar o campo magnético fásor \mathbf{H}.
  3. Achar o comprimento de onda \lambda e a direção de propagação.
  4. Representar os campos instantâneos \mathbf{E}(y,t=0) e \mathbf{H}(y,t=0).

Passo 2

Aplicamos as definições em cartesianas. Escrevendo
E_x = e^{j3\pi y},\quad E_y=0,\quad E_z=0,
temos
\nabla\cdot\mathbf{E} =\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z} =0+0+0 =0,
e
\nabla\times\mathbf{E} =\bigl(\partial_y E_z-\partial_z E_y\bigr)\hat x +\bigl(\partial_z E_x-\partial_x E_z\bigr)\hat y +\bigl(\partial_x E_y-\partial_y E_x\bigr)\hat z.
Como E_y=E_z=0, sobra só o termo em \hat z:
\nabla\times\mathbf{E} =-\frac{\partial E_x}{\partial y}\,\hat z =-j3\pi\,e^{j3\pi y}\,\hat z.

Passo 3

Em região sem fontes temos as leis de Maxwell no domínio da frequência e^{-j\omega t}:
\nabla\cdot\mathbf{E}=0 \quad\text{(Gauss sem carga),}
\nabla\times\mathbf{E}=-j\omega\mu\,\mathbf{H} \quad\text{(Lei de Faraday).}
Vimos que \nabla\cdot\mathbf{E}=0 está OK e \nabla\times\mathbf{E}=-j3\pi e^{j3\pi y}\hat z deve igualar -j\omega\mu\,\mathbf{H}.

Passo 4

Da faraday temos
\mathbf{H} =\frac{1}{-j\omega\mu}\,\bigl(\nabla\times\mathbf{E}\bigr) =\frac{-j3\pi}{-j\omega\mu}\,e^{j3\pi y}\,\hat z =\frac{3\pi}{\omega\mu}\,e^{j3\pi y}\,\hat z.
Para relacionar com a impedância do vácuo \eta=\sqrt{\mu/\epsilon} usamos a relação de dispersão \,k^2=\omega^2\mu\epsilon com k=3\pi. Então \omega=3\pi/\sqrt{\mu\epsilon} e
\frac{3\pi}{\omega\mu} =\frac{k}{\omega\mu} =\frac{\sqrt{\mu\epsilon}}{\mu} =\frac{1}{\eta}.
Logo
\mathbf{H}(y) =\hat z\,\frac{1}{\eta}\,e^{j3\pi y}.

Passo 5

A constante de fase é k=3\pi que satisfaz k=2\pi/\lambda. Logo
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{3\pi}=\frac{2}{3}.
O vetor de onda efetivamente aponta em \hat y, então a onda se propaga ao longo de +y.

Passo 6

Adotando a convenção temporal e^{-j\omega t}, os campos instantâneos são
\mathbf{E}(y,t) =\Re\{\hat x\,e^{j3\pi y}\,e^{-j\omega t}\} =\hat x\cos\bigl(3\pi y-\omega t\bigr),
\mathbf{H}(y,t) =\Re\{\hat z\,\tfrac{1}{\eta}\,e^{j3\pi y}\,e^{-j\omega t}\} =\hat z\,\frac{1}{\eta}\cos\bigl(3\pi y-\omega t\bigr).
No instante t=0:
\mathbf{E}(y,0)=\hat x\cos(3\pi y), \quad \mathbf{H}(y,0)=\hat z\,\frac{1}{\eta}\cos(3\pi y).

Resposta

∇×E= -j3\pi\,e^{j3\pi y}\hat z,
∇·E =0; \mathbf{H}(y)=\hat z\,\frac{1}{\eta}e^{j3\pi y}; \lambda=2/3;
propagação em + \hat y; \mathbf{E}(y,0)=\hat x\cos(3\pi y), \mathbf{H}(y,0)=\hat z\,\frac{1}{\eta}\cos(3\pi y).

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