Considere os seguintes vetores de campo complexos no espaço livre:
\begin{aligned} & \mathbf{E}_{1}=\hat{y} E_{0} e^{-3 j k z}, \\\ & \mathbf{E}_{2}=\hat{x} E_{0} e^{j k z}, \\\ & \mathbf{E}_{3}=(\hat{x}+2 j \hat{z}) E_{0} e^{j k x} . \end{aligned}
a. Quais destes satisfazem a equação da onda \nabla^{2} \mathbf{E}+\omega^{2} \mu_{0} \epsilon_{0 \mathbf{E}}=0 ? Se sim, qual é a relação entre k e \omega ?
b. Quais são ondas eletromagnéticas? Para aqueles que não são, quais das equações de Maxwell eles violam?

Passo 1

O enunciado nos dá três campos elétricos complexos no espaço livre e pede:
  • (a) verificar quais satisfazem
\nabla^2 \mathbf{E} + \omega^2 \mu_0 \epsilon_0 \mathbf{E} = 0
e, para estes, achar a relação entre k e \omega.
  • (b) identificar quais são ondas eletromagnéticas (i.e.\ satisfazem também as equações de Maxwell no espaço livre) e, se não satisfizerem, dizer qual equação de Maxwell é violada.
Conteúdo necessário: aplicação do operador laplaciano em cada componente, uso da forma harmônica \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}(\mathbf{r})e^{j\omega t} e as equações de Maxwell em frequência harmônica no vazio:
\begin{cases} \nabla\cdot\mathbf{E}=0,\\\ \nabla\times\mathbf{E}=-\,j\omega\mathbf{B},\\\ \nabla\cdot\mathbf{B}=0,\\\ \nabla\times\mathbf{H}=j\omega\epsilon_0\mathbf{E}. \end{cases}

Passo 2

Calculemos \nabla^2\mathbf{E}_i para cada campo, lembrando que \nabla^2[e^{j k_\ell x_\ell}] = -(k_\ell)^2 e^{j k_\ell x_\ell}.
  1. \mathbf{E}_1 = \hat{y}\,E_0\,e^{-3jkz}.
    Apenas varia em z, logo
\nabla^2\mathbf{E}_1 = \hat{y}\,E_0\,\frac{\partial^2}{\partial z^2}e^{-3jkz} = \hat{y}\,E_0\,(-3jk)^2\,e^{-3jkz} = -9k^2\,\mathbf{E}_1.
A equação da onda exige
\nabla^2\mathbf{E}_1 + \omega^2\mu_0\epsilon_0\,\mathbf{E}_1 = 0 \;\Longrightarrow\; -9k^2 + \omega^2\mu_0\epsilon_0 = 0 \;\Longrightarrow\; \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0} = 3k.
  1. \mathbf{E}_2 = \hat{x}\,E_0\,e^{jkz}.
    De modo análogo,
\nabla^2\mathbf{E}_2 = \hat{x}\,E_0\,(-k^2)e^{jkz} = -k^2\,\mathbf{E}_2,
e a onda satisfaz a equação se
-k^2 + \omega^2\mu_0\epsilon_0 = 0 \;\Longrightarrow\; \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0} = k.
  1. \mathbf{E}_3 = (\hat{x}+2j\hat{z})\,E_0\,e^{jkx}.
    Cada componente tem o mesmo fator escalar e^{jkx}, logo
\nabla^2\mathbf{E}_3 = (\hat{x}+2j\hat{z})\,E_0\,(-k^2)e^{jkx} = -k^2\,\mathbf{E}_3,
e a onda satisfaz a equação se
-k^2 + \omega^2\mu_0\epsilon_0 = 0 \;\Longrightarrow\; \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0} = k.
Portanto, todos satisfazem a equação da onda, com as relações:
  • Para \mathbf{E}_1: \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}=3k.
  • Para \mathbf{E}_2 e \mathbf{E}_3: \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}=k.

Passo 3

Agora checamos as equações de Maxwell no vazio. O teste mais direto é a lei de Gauss para \mathbf{E}:
\nabla\cdot\mathbf{E}=0.
  1. \mathbf{E}_1=\hat{y}E_0e^{-3jkz} não tem dependência em y, nem componente em z ou x que varie no respectivo eixo. Logo
    \nabla\cdot\mathbf{E}_1=0.
    Pode-se então definir \mathbf{B} via \nabla\times\mathbf{E}_1=-j\omega\mathbf{B} e tudo em Maxwell fecha.
    Assim, \mathbf{E}_1 é uma onda eletromagnética (campo transverse).
  2. \mathbf{E}_2=\hat{x}E_0e^{jkz} depende só de z em E_x, então
    \nabla\cdot\mathbf{E}_2=0.
    Também satisfaz todas as outras equações de Maxwell, sendo portanto uma onda eletromagnética.
  3. \mathbf{E}_3=(\hat{x}+2j\hat{z})E_0e^{jkx} tem
\nabla\cdot\mathbf{E}_3 = \frac{\partial}{\partial x}(E_0e^{jkx}) + 0 = jk\,E_0\,e^{jkx}\neq 0.
Então viola a lei de Gauss para \mathbf{E}. Logo não é campo eletromagnético livre.

Resposta

a. Todos satisfazem a equação da onda
 • \mathbf{E}_1: \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}=3k
 • \mathbf{E}_2 e \mathbf{E}_3: \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}=k
b. Ondas eletromagnéticas no espaço livre são \mathbf{E}_1 e \mathbf{E}_2. \mathbf{E}_3 não é, pois viola \nabla\cdot\mathbf{E}=0 (lei de Gauss para o campo elétrico).

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