Considere os seguintes vetores de campo complexos no espaço livre:
\begin{aligned} & \mathbf{E}_{1}=\hat{y} E_{0} e^{-3 j k z}, \\\ & \mathbf{E}_{2}=\hat{x} E_{0} e^{j k z}, \\\ & \mathbf{E}_{3}=(\hat{x}+2 j \hat{z}) E_{0} e^{j k x} . \end{aligned}
a. Quais destes satisfazem a equação da onda \nabla^{2} \mathbf{E}+\omega^{2} \mu_{0} \epsilon_{0 \mathbf{E}}=0 ? Se sim, qual é a relação entre k e \omega ?
b. Quais são ondas eletromagnéticas? Para aqueles que não são, quais das equações de Maxwell eles violam?
Passo 1
O enunciado nos dá três campos elétricos complexos no espaço livre e pede:
(b) identificar quais são ondas eletromagnéticas (i.e.\ satisfazem também as equações de Maxwell no espaço livre) e, se não satisfizerem, dizer qual equação de Maxwell é violada.
Conteúdo necessário: aplicação do operador laplaciano em cada componente, uso da forma harmônica \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}(\mathbf{r})e^{j\omega t} e as equações de Maxwell em frequência harmônica no vazio:
-k^2 + \omega^2\mu_0\epsilon_0 = 0 \;\Longrightarrow\; \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0} = k.
Portanto, todos satisfazem a equação da onda, com as relações:
Para \mathbf{E}_1: \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}=3k.
Para \mathbf{E}_2 e \mathbf{E}_3: \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}=k.
Passo 3
Agora checamos as equações de Maxwell no vazio. O teste mais direto é a lei de Gauss para \mathbf{E}:
\nabla\cdot\mathbf{E}=0.
\mathbf{E}_1=\hat{y}E_0e^{-3jkz} não tem dependência em y, nem componente em z ou x que varie no respectivo eixo. Logo \nabla\cdot\mathbf{E}_1=0.
Pode-se então definir \mathbf{B} via \nabla\times\mathbf{E}_1=-j\omega\mathbf{B} e tudo em Maxwell fecha.
Assim, \mathbf{E}_1 é uma onda eletromagnética (campo transverse).
\mathbf{E}_2=\hat{x}E_0e^{jkz} depende só de z em E_x, então \nabla\cdot\mathbf{E}_2=0.
Também satisfaz todas as outras equações de Maxwell, sendo portanto uma onda eletromagnética.
Então viola a lei de Gauss para \mathbf{E}. Logo não é campo eletromagnético livre.
Resposta
a. Todos satisfazem a equação da onda
• \mathbf{E}_1: \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}=3k
• \mathbf{E}_2 e \mathbf{E}_3: \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}=k
b. Ondas eletromagnéticas no espaço livre são \mathbf{E}_1 e \mathbf{E}_2. \mathbf{E}_3 não é, pois viola \nabla\cdot\mathbf{E}=0 (lei de Gauss para o campo elétrico).