Uma onda eletromagnética viajando na direção positiva \hat{Z} passa por um observador em \mathrm{z}=0. Ele mede um campo elétrico \mathbf{E}=\hat{x} E_{0} \frac{t}{T} para 0<\mathrm{t}<\mathrm{Te} zero para todos os outros tempos. Represente a magnitude do campo em função de z em dois instantes posteriores: (i) 2 Te (ii) 3.5 T . Rotule claramente os eixos.

Passo 1

O enunciado dá o pulso que o observador vê em z=0: \mathbf E(0,t)=\hat x\,E_0\,(t/T) para 0<t<T_e, e zero caso contrário.
O conteúdo é “onda de forma de pulso” viajando na direção +\hat z. Para descrever o pulso em qualquer z, vamos usar a dependência retardada t\to t - z/c.

Passo 2

Em geral, uma onda plana sem dispersão que em z=0 tem \mathbf E(0,t)=\hat x\,f(t) leva, ao propagar-se a velocidade c, a
\mathbf E(z,t)\;=\;\hat x\,f\bigl(t - \tfrac{z}{c}\bigr).
Aqui f(t)=E_0\,(t/T) para 0<t<T_e e f(t)=0 fora desse intervalo. Logo
\mathbf E(z,t) =\hat x\,E_0\frac{t - \frac{z}{c}}{T} \quad\text{se }0< t-\frac{z}{c}<T_e,
e \mathbf E(z,t)=0 caso contrário.

Passo 3

Para um instante fixo t_i, a condição 0< t_i - \frac{z}{c}<T_e implica
c\,(t_i - T_e)\;<\;z\;<\;c\,t_i.
Dentro desse trecho de comprimento c\,T_e, o módulo do campo vale
E(z,t_i) =E_0\;\frac{t_i - \tfrac{z}{c}}{T},
uma rampa que decresce linearmente de \displaystyle E_{\max}=E_0\frac{T_e}{T} (em z=c(t_i-T_e)) até zero (em z=c\,t_i).

Passo 4

(i) Para t_i=2\,T_e temos
suporte:
c\,(2T_e-T_e)=c\,T_e<z<2\,c\,T_e,
e
E(z,2T_e) =E_0\;\frac{2T_e - \tfrac{z}{c}}{T}, \quad cT_e<z<2cT_e.
(ii) Para t_i=3{,}5\,T temos
c\,(3{,}5T - T_e)<z<3{,}5\,c\,T,
e
E(z,3{,}5T) =E_0\;\frac{3{,}5T - \tfrac{z}{c}}{T}, \quad c(3{,}5T - T_e)<z<3{,}5cT.

Passo 5

Desenhe dois gráficos E\) versus \(z\): — Eixo horizontal: \(z\) (em metros). — Eixo vertical: \(\lvert E\rvert\). Em cada caso trace um segmento de reta que começa no ponto \(\bigl(z_{\rm min},E_{\max}\bigr)\) e vai até \(\bigl(z_{\rm max},0\bigr)\), com \[(z_{\rm min},z_{\rm max})= \begin{cases} (cT_e,2cT_e),& t=2T_e,\\\ \bigl(c(3{,}5T-T_e),3{,}5cT\bigr),& t=3{,}5T, \end{cases}
onde E_{\max}=E_0\,T_e/T\]. Fora desse trecho, \(E=0.

Resposta

Para cada instante, E(z) é uma rampa linear decrescente de valor máximo \;E_0T_e/T até zero, suportada em
\begin{aligned} &cT_e<z<2cT_e\quad\text{em }t=2T_e,\\\ &c(3{,}5T-T_e)<z<3{,}5cT\quad\text{em }t=3{,}5T. \end{aligned}
Os eixos devem ser rotulados: horizontal z, vertical \lvert E\rvert.

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