Considere uma onda plana que se propaga no ar e incide perpendicularmente em um bloco de cobre. Determine o percentual de potência absorvida pelo bloco a 100 MHz e a 1 GHz . Considerar \sigma_{\mathrm{c}}=5,8 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}. ( 2,0 pontos).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o percentual da potência de uma onda plana, incidindo perpendicularmente no ar sobre um bloco de cobre, que é absorvida pelo bloco para as frequências 100\\ \mathrm{MHz} e 1\\ \mathrm{GHz}. Dados fornecidos e hipóteses usadas (peguei estes dados do enunciado):
  • condutividade do cobre: \sigma_{\mathrm{c}}=5{,}8\times10^{7}\\ \mathrm{S/m};
  • as incidências são normais (perpendiculares) e o bloco de cobre é considerado suficientemente espesso (semi-infinito) de modo que a potência que entra no metal é eventualmente dissipada nele (não há transmissão para outro meio);
  • meio incidente é o ar (impedância característica \eta_0\approx377\\ \Omega);
  • frequências pedidas: f_1=100\\ \mathrm{MHz} e f_2=1{,}0\\ \mathrm{GHz}.
Pergunta clara: para cada frequência, qual a fração (em percentual) da potência incidente que é absorvida pelo cobre?

Passo 2

Resumo das fórmulas físicas que vamos usar (explicando com calma):
  • Impedância intrínseca de um meio (geral) para ondas e-m em regime harmônico é
\eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}},
onde \omega=2\pi f é a pulsação, \mu é a permeabilidade do meio, \sigma é a condutividade e \varepsilon a permissividade.
  • Cada símbolo: \omega em \mathrm{rad/s}, \mu em \mathrm{H/m}, \sigma em \mathrm{S/m}, \varepsilon em \mathrm{F/m}.
  • Para o ar podemos tomar \eta_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\approx377\\ \Omega, com \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} e \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Para um bom condutor metálico (caso típico do cobre) vale \sigma\gg\omega\varepsilon. Nessa situação a expressão simplifica e a impedância do condutor fica aproximada por
\eta_c \approx (1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}}.
  • Observação: isto resulta porque \sigma+j\omega\varepsilon\approx\sigma e \sqrt{j}=(1+j)/\sqrt{2}.
  • Assim \eta_c tem módulo |\eta_c|=\sqrt{\dfrac{\omega\mu}{\sigma}} e fase +45^\circ.
  • Coeficiente de reflexão (incidência normal entre dois meios) é
\Gamma=\frac{\eta_c-\eta_0}{\eta_c+\eta_0},
e o coeficiente de potência refletida (reflectividade) é
R=|\Gamma|^{2}.
  • Como o bloco é espesso (semi-infinito), a potência não refletida é absorvida no metal, logo a fração absorvida é
A=1-R.
Essas são as relações que nos permitem calcular o percentual absorvido: \%\text{absorvida}=100\cdot A.

Passo 3

Validação rápida da aproximação bom condutor: precisamos verificar \sigma\gg\omega\varepsilon_0. Para f até 1\\ \mathrm{GHz} tem-se \omega\varepsilon_0 da ordem de 10^{-2} a 10^{-1} (valores muito menores que \sigma=5{,}8\times10^{7}), portanto a aproximação é válida. Agora calculamos numericamente.
Constantes usadas (valores numéricos):
\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m},\qquad \eta_0=377\\ \Omega.
Começamos por f_1=100\\ \mathrm{MHz}.
  • Pulsação:
\omega_1=2\pi f_1=2\pi\cdot100\times10^{6}=2\pi\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Calcular o fator \sqrt{\dfrac{\omega\mu_0}{2\sigma}}:
\frac{\omega_1\mu_0}{2\sigma}=\frac{2\pi\cdot10^{8}\cdot(4\pi\times10^{-7})}{2\cdot5{,}8\times10^{7}}.
Faço as contas em etapas:
\omega_1\mu_0 \approx 2\pi\cdot10^{8}\cdot1{,}25663706\times10^{-6}\approx 789{,}568{,}35
(este valor foi obtido multiplicando 2\pi\cdot10^{8} por \mu_0). Dividindo por 2\sigma:
\frac{\omega_1\mu_0}{2\sigma}\approx\frac{789{,}568{,}35}{2\cdot5{,}8\times10^{7}} \approx 6{,}805\times10^{-6}.
Tomando raiz quadrada:
\sqrt{\frac{\omega_1\mu_0}{2\sigma}}\approx2{,}609\times10^{-3}\\ \Omega.
Portanto a impedância do cobre é (aprox.)
\eta_{c1}\approx(1+j)\,2{,}609\times10^{-3}\\ \Omega.
Os componentes real e imaginário são ambos a_1=2{,}609\times10^{-3}\\ \Omega. O módulo é
|\eta_{c1}|=\sqrt{\frac{\omega_1\mu_0}{\sigma}}\approx3{,}689\times10^{-3}\\ \Omega.
Agora calculamos R. Com \eta_0 real e \eta_{c1}=a_1+j a_1 temos
R=\left|\frac{\eta_{c1}-\eta_0}{\eta_{c1}+\eta_0}\right|^{2} =\frac{(\eta_0-a_1)^{2}+a_1^{2}}{(\eta_0+a_1)^{2}+a_1^{2}}.
Substituindo números:
\eta_0=377,\quad a_1=2{,}609\times10^{-3},
\text{numerador}\approx(377-0{,}002609)^{2}+(0{,}002609)^{2}\approx142127{,}0328,
\text{denominador}\approx(377+0{,}002609)^{2}+(0{,}002609)^{2}\approx142130{,}9672.
Logo
R\approx\frac{142127{,}0328}{142130{,}9672}\approx0{,}99997233.
A fração absorvida:
A_1=1-R\approx2{,}767\times10^{-5}.
Em percentual:
100\cdot A_1\approx0{,}002767\\ \%.

Passo 4

Repetimos para f_2=1{,}0\\ \mathrm{GHz}. Pode-se notar que |\eta_c|\propto\sqrt{\omega}, então os valores escalam com \sqrt{10} em relação a 100\\ \mathrm{MHz}. Faço as contas explicitamente:
  • Pulsação:
\omega_2=2\pi f_2=2\pi\cdot10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Fator:
\sqrt{\frac{\omega_2\mu_0}{2\sigma}}\approx\sqrt{10}\times2{,}609\times10^{-3}\approx8{,}254\times10^{-3}\\ \Omega.
Assim
\eta_{c2}\approx(1+j)\,8{,}254\times10^{-3}\\ \Omega,
com a_2=8{,}254\times10^{-3}\\ \Omega e módulo
|\eta_{c2}|\approx\sqrt{\frac{\omega_2\mu_0}{\sigma}}\approx1{,}167\times10^{-2}\\ \Omega.
Repetindo a fórmula de refletância:
R=\frac{(\eta_0-a_2)^{2}+a_2^{2}}{(\eta_0+a_2)^{2}+a_2^{2}}.
Substituindo:
\eta_0=377,\quad a_2=8{,}254\times10^{-3},
\text{numerador}\approx142122{,}7765,\qquad \text{denominador}\approx142135{,}2235,
R\approx\frac{142122{,}7765}{142135{,}2235}\approx0{,}99991243.
A fração absorvida:
A_2=1-R\approx8{,}757\times10^{-5}.
Em percentual:
100\cdot A_2\approx0{,}008757\\ \%.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo: o cobre é um condutor excelente, por isso quase toda a potência é refletida e apenas uma fração muito pequena é absorvida mesmo em 1\\ \mathrm{GHz}. Os valores numéricos mostram que a absorção cresce com a raiz da frequência (por isso a absorção em 1\\ \mathrm{GHz} é aproximadamente \sqrt{10} vezes maior que em 100\\ \mathrm{MHz}), mas permanece pequena. Você está indo bem — a técnica é sempre: calcular \eta_c, usar \Gamma e obter A=1-|\Gamma|^2.

Resposta

100\\ \mathrm{MHz}:\\\ 0{,}00277\\ \%
1{,}0\\ \mathrm{GHz}:\\\ 0{,}00876\\ \%

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