Considere uma onda plana que se propaga no ar e incide perpendicularmente em um bloco de cobre. Determine o percentual de potência absorvida pelo bloco a 100 MHz e a 1 GHz . Considerar \sigma_{\mathrm{c}}=5,8 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}. ( 2,0 pontos).
Passo 1
O enunciado pede: determinar o percentual da potência de uma onda plana, incidindo perpendicularmente no ar sobre um bloco de cobre, que é absorvida pelo bloco para as frequências 100\\ \mathrm{MHz} e 1\\ \mathrm{GHz}. Dados fornecidos e hipóteses usadas (peguei estes dados do enunciado):
condutividade do cobre: \sigma_{\mathrm{c}}=5{,}8\times10^{7}\\ \mathrm{S/m};
as incidências são normais (perpendiculares) e o bloco de cobre é considerado suficientemente espesso (semi-infinito) de modo que a potência que entra no metal é eventualmente dissipada nele (não há transmissão para outro meio);
meio incidente é o ar (impedância característica \eta_0\approx377\\ \Omega);
frequências pedidas: f_1=100\\ \mathrm{MHz} e f_2=1{,}0\\ \mathrm{GHz}.
Pergunta clara: para cada frequência, qual a fração (em percentual) da potência incidente que é absorvida pelo cobre?
Passo 2
Resumo das fórmulas físicas que vamos usar (explicando com calma):
Impedância intrínseca de um meio (geral) para ondas e-m em regime harmônico é
onde \omega=2\pi f é a pulsação, \mu é a permeabilidade do meio, \sigma é a condutividade e \varepsilon a permissividade.
Cada símbolo: \omega em \mathrm{rad/s}, \mu em \mathrm{H/m}, \sigma em \mathrm{S/m}, \varepsilon em \mathrm{F/m}.
Para o ar podemos tomar \eta_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\approx377\\ \Omega, com \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} e \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Para um bom condutor metálico (caso típico do cobre) vale \sigma\gg\omega\varepsilon. Nessa situação a expressão simplifica e a impedância do condutor fica aproximada por
Observação: isto resulta porque \sigma+j\omega\varepsilon\approx\sigma e \sqrt{j}=(1+j)/\sqrt{2}.
Assim \eta_c tem módulo |\eta_c|=\sqrt{\dfrac{\omega\mu}{\sigma}} e fase +45^\circ.
Coeficiente de reflexão (incidência normal entre dois meios) é
\Gamma=\frac{\eta_c-\eta_0}{\eta_c+\eta_0},
e o coeficiente de potência refletida (reflectividade) é
R=|\Gamma|^{2}.
Como o bloco é espesso (semi-infinito), a potência não refletida é absorvida no metal, logo a fração absorvida é
A=1-R.
Essas são as relações que nos permitem calcular o percentual absorvido: \%\text{absorvida}=100\cdot A.
Passo 3
Validação rápida da aproximação bom condutor: precisamos verificar \sigma\gg\omega\varepsilon_0. Para f até 1\\ \mathrm{GHz} tem-se \omega\varepsilon_0 da ordem de 10^{-2} a 10^{-1} (valores muito menores que \sigma=5{,}8\times10^{7}), portanto a aproximação é válida. Agora calculamos numericamente.
Repetimos para f_2=1{,}0\\ \mathrm{GHz}. Pode-se notar que |\eta_c|\propto\sqrt{\omega}, então os valores escalam com \sqrt{10} em relação a 100\\ \mathrm{MHz}. Faço as contas explicitamente:
Interpretação curta e incentivo: o cobre é um condutor excelente, por isso quase toda a potência é refletida e apenas uma fração muito pequena é absorvida mesmo em 1\\ \mathrm{GHz}. Os valores numéricos mostram que a absorção cresce com a raiz da frequência (por isso a absorção em 1\\ \mathrm{GHz} é aproximadamente \sqrt{10} vezes maior que em 100\\ \mathrm{MHz}), mas permanece pequena. Você está indo bem — a técnica é sempre: calcular \eta_c, usar \Gamma e obter A=1-|\Gamma|^2.