Um gerador de sinais produz uma onda plana uniforme no espaço livre com um comprimento de onda igual a 12 cm . Quando a onda se propaga através de um material não dissipativo, de características desconhecidas, o comprimento de onda se reduz para 8 cm . Nesse material, as amplitudes de \vec{E} e \vec{H} são iguais a 50 \mathrm{~V} / \mathrm{m} e 0,1 \mathrm{~A} / \mathrm{m}, respectivamente. Ache a frequência do gerador, bem como \mu_{r}, e \varepsilon_{r} para o material. ( 2,0 pontos) \quad \ell=2,5 \mathrm{GHz} \quad \mu r=2 \quad \varepsilon_{r}=1,13
Utilize os seguintes valores para as constantes:
\begin{aligned} & \varepsilon_{0}=10^{-9} / 36 \pi \mathrm{~F} / \mathrm{m} \\\ & \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m} \end{aligned}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • comprimento de onda no ar (espaço livre): \lambda_0 = 12\\ \mathrm{cm} = 0,12\\ \mathrm{m}.
  • comprimento de onda no material: \lambda = 8\\ \mathrm{cm} = 0,08\\ \mathrm{m}.
  • amplitude do campo elétrico no material: |\vec{E}| = 50\\ \mathrm{V/m}.
  • amplitude do campo magnético no material: |\vec{H}| = 0,1\\ \mathrm{A/m}.
  • material não dissipativo (ou seja, \mu_r e \varepsilon_r são reais, sem perdas).
  • constantes dadas: \varepsilon_0=\frac{10^{-9}}{36\pi}\\ \mathrm{F/m},\qquad \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
O enunciado pede:
  • a frequência do gerador f;
  • o valor da permissividade relativa \varepsilon_r;
  • o valor da permeabilidade relativa \mu_r.

Passo 2

Primeiro vamos achar a frequência f. A ideia: a frequência da onda é a mesma no espaço livre e no material; em espaço livre f = c/\lambda_0, onde c é a velocidade da luz dada por c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}.
Calculemos c usando as constantes fornecidas. Multiplicando \mu_0 por \varepsilon_0:
\mu_0\varepsilon_0 = \left(4\pi\times10^{-7}\right)\left(\frac{10^{-9}}{36\pi}\right) = \frac{4\pi\cdot10^{-16}}{36\pi} = \frac{4}{36}\times10^{-16} = \frac{1}{9}\times10^{-16}.
Portanto
\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=\sqrt{\frac{10^{-16}}{9}}=\frac{10^{-8}}{3}.
A velocidade da luz é então
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=\frac{1}{10^{-8}/3}=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Agora a frequência:
f=\frac{c}{\lambda_0}=\frac{3\times10^{8}}{0,12}=2,5\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}=2,5\\ \mathrm{GHz}.
Comentário rápido: essa conta dá exatamente o que se espera (2,5 GHz). Respire fundo — é só dividir velocidade por comprimento de onda.

Passo 3

Agora usemos a redução do comprimento de onda para relacionar \mu_r e \varepsilon_r.
Em um meio (não necessariamente dispersivo), a velocidade de fase é v=\dfrac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}, com \mu=\mu_r\mu_0 e \varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0. A frequência é a mesma, logo a razão entre comprimentos de onda é
\frac{\lambda_0}{\lambda}=\frac{c/f}{v/f}=\frac{c}{v}=\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}.
Ou seja,
\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}=\frac{\lambda_0}{\lambda}.
Substituindo \lambda_0=0,12\\ \mathrm{m} e \lambda=0,08\\ \mathrm{m}:
\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}=\frac{0,12}{0,08}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.
Elevando ao quadrado:
\mu_r\varepsilon_r=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2,25.
Isso nos dá uma equação entre \mu_r e \varepsilon_r.

Passo 4

Agora usemos a relação entre \vec{E} e \vec{H} para obter outra equação. Para uma onda plana no meio, a impedância intrínseca do meio é
\eta=\frac{|\vec{E}|}{|\vec{H}|}=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}=\sqrt{\frac{\mu_r\mu_0}{\varepsilon_r\varepsilon_0}} =\eta_0\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}},
onde \eta_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} é a impedância do espaço livre.
Calcule \eta a partir das amplitudes:
\eta=\frac{|\vec{E}|}{|\vec{H}|}=\frac{50}{0,1}=500\\ \Omega.
Calcule \eta_0 com as constantes dadas. Podemos manipular:
\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} =\sqrt{\frac{4\pi\times10^{-7}}{10^{-9}/(36\pi)}} =\sqrt{144\pi^2\times10^{2}}=120\pi\\ \Omega.
(Esse é o valor clássico: \eta_0=120\pi\approx376,99\\ \Omega.)
Assim
\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}=\frac{\eta}{\eta_0}=\frac{500}{120\pi}=\frac{25}{6\pi}.
Elevando ao quadrado obtemos a segunda equação:
\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}=\left(\frac{25}{6\pi}\right)^2=\frac{625}{36\pi^2}\approx1,759.

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações simples em \mu_r\) e \(\varepsilon_r\): \[\begin{cases} \mu_r\varepsilon_r=\dfrac{9}{4},\\[6pt] \dfrac{\mu_r}{\varepsilon_r}=\dfrac{625}{36\pi^2}. \end{cases}
Multiplicando as duas equações (ou isolando), uma maneira direta é obter (\mu_r] por
\mu_r^2=\left(\mu_r\varepsilon_r\right)\left(\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}\right) =\frac{9}{4}\cdot\frac{625}{36\pi^2}.
Calculemos exatamente:
\mu_r^2=\frac{9\cdot625}{4\cdot36\pi^2}=\frac{5625}{144\pi^2}=\frac{39{,}0625}{\pi^2}.
Tirando raiz:
\mu_r=\frac{\sqrt{39{,}0625}}{\pi}=\frac{6{,}25}{\pi}=\frac{25}{4\pi}.
Numérico:
\mu_r\approx\frac{25}{4\pi}\approx1,9894\approx2,0\\ (\text{arredondando}).
Para \varepsilon_r podemos usar \varepsilon_r=\dfrac{9/4}{\mu_r}:
\varepsilon_r=\frac{9/4}{25/(4\pi)}=\frac{9}{4}\cdot\frac{4\pi}{25}=\frac{9\pi}{25}.
Numérico:
\varepsilon_r\approx\frac{9\pi}{25}\approx1,13097\approx1,13.]

Passo 6

Checagem rápida (para ganhar confiança): com \mu_r\approx1,9894 e \varepsilon_r\approx1,13097 temos
\mu_r\varepsilon_r\approx1,9894\times1,13097\approx2,25
e
\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}\approx\sqrt{\frac{1,9894}{1,13097}}\approx\frac{500}{120\pi},
portanto as duas condições (redução de comprimento de onda e razão E/H) são satisfeitas. Beleza — está consistente.

Resposta

f=2,5\times10^{9}\\ \mathrm{Hz} \;=\;2{,}5\\ \mathrm{GHz}
\mu_{r}= \dfrac{25}{4\pi}\approx2{,}0
\varepsilon_{r}= \dfrac{9\pi}{25}\approx1{,}13

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