Um gerador de sinais produz uma onda plana uniforme no espaço livre com um comprimento de onda igual a 12 cm . Quando a onda se propaga através de um material não dissipativo, de características desconhecidas, o comprimento de onda se reduz para 8 cm . Nesse material, as amplitudes de
e
são iguais a
e
, respectivamente. Ache a frequência do gerador, bem como
, e
para o material. ( 2,0 pontos)
Utilize os seguintes valores para as constantes:
Utilize os seguintes valores para as constantes:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
- comprimento de onda no ar (espaço livre):
. - comprimento de onda no material:
. - amplitude do campo elétrico no material:
. - amplitude do campo magnético no material:
. - material não dissipativo (ou seja,
e são reais, sem perdas). - constantes dadas:
O enunciado pede:
- a frequência do gerador
; - o valor da permissividade relativa
; - o valor da permeabilidade relativa
.
Passo 2
Primeiro vamos achar a frequência
. A ideia: a frequência da onda é a mesma no espaço livre e no material; em espaço livre
, onde
é a velocidade da luz dada por
.
Calculemos
usando as constantes fornecidas. Multiplicando
por
:
Portanto
A velocidade da luz é então
Agora a frequência:
Comentário rápido: essa conta dá exatamente o que se espera (2,5 GHz). Respire fundo — é só dividir velocidade por comprimento de onda.
Passo 3
Agora usemos a redução do comprimento de onda para relacionar
e
.
Em um meio (não necessariamente dispersivo), a velocidade de fase é
, com
e
. A frequência é a mesma, logo a razão entre comprimentos de onda é
Ou seja,
Substituindo
e
:
Elevando ao quadrado:
Isso nos dá uma equação entre
e
.
Passo 4
Agora usemos a relação entre
e
para obter outra equação. Para uma onda plana no meio, a impedância intrínseca do meio é
onde
é a impedância do espaço livre.
Calcule
a partir das amplitudes:
Calcule
com as constantes dadas. Podemos manipular:
(Esse é o valor clássico:
.)
Assim
Elevando ao quadrado obtemos a segunda equação:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações simples em
Multiplicando as duas equações (ou isolando), uma maneira direta é obter (\mu_r] por
Calculemos exatamente:
Tirando raiz:
Numérico:
Calculemos exatamente:
Tirando raiz:
Numérico:
Para
podemos usar
:
Numérico:
Passo 6
Checagem rápida (para ganhar confiança): com
e
temos
e
portanto as duas condições (redução de comprimento de onda e razão
) são satisfeitas. Beleza — está consistente.