Seja o campo elétrico de uma onda eletromagnética utilizada por um avião para se comunicar com a torre de controle expresso por E=0,02 \cos \left(7,5 \times 10^{8} t-\beta z\right) j [V/m]. Usando as equações de Maxwell determine a intensidade de campo magnético H(z, t) e a constante de fase \beta. ( 2,0 pontos).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo elétrico de uma onda eletromagnética e pede duas coisas:
  • Determinar H(z,t), a intensidade do campo magnético (unidade A/m).
  • Determinar a constante de fase \beta (unidade rad/m).
Informações fornecidas:
  • Campo elétrico: E(z,t)=0,02\cos\!\left(7,5\times10^{8}\,t-\beta z\right)\,\hat{\mathbf{y}}\\ \text{[V/m]}Aqui peguei do enunciado que a amplitude é 0,02 V/m, a pulsação é \omega=7,5\times10^{8}\\ \text{s}^{-1}, a dependência espacial é em z e a direção do campo é \hat{\mathbf{y}}.
  • A onda propaga-se na direção +z (pois o argument é \omega t-\beta z).
O que pediram:
  • H(z,t) (vetor, direção e amplitude, função de z e t);
  • valor numérico de \beta.

Passo 2

Relembrando a relação fundamental entre E e H para uma onda plana em espaço livre (usando as equações de Maxwell):
\nabla\times \mathbf{E} = -\mu_0\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}, \qquad \nabla\times \mathbf{H} = \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t},
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo e \epsilon_0 é a permissividade do vácuo. Para ondas planas harmônicas em espaço livre existe também a relação direta de amplitude:
\mathbf{H} = \frac{1}{\eta_0}\,\hat{\mathbf{k}}\times \mathbf{E},
onde \hat{\mathbf{k}} é o versor da direção de propagação e \eta_0=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\epsilon_0}} é a impedância intrínseca do vácuo. Vou usar essas relações (elas são consequência direta das equações de Maxwell e são muito práticas em prova).
Valores conhecidos:
\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m},\qquad c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}\approx 3\times10^{8}\\ \text{m/s},
e
\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}\approx 377\\ \Omega.

Passo 3

Determinar a direção de \mathbf{H}. A onda propaga-se no sentido +z, logo \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{z}}. O campo elétrico está em \hat{\mathbf{y}}. Usando \mathbf{H}=\dfrac{1}{\eta_0}\,\hat{\mathbf{z}}\times\mathbf{E} temos:
\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{y}} = -\hat{\mathbf{x}}.
Portanto o campo magnético será paralelo a \hat{\mathbf{x}} com sinal negativo, ou seja apontando em -\hat{\mathbf{x}}.
Explicando em miúdos: para uma onda que vai em +z, E em y implica H em -x (regra da mão direita aplicada ao triângulo E,H,k). Ôtimo — já sabemos a direção.

Passo 4

Determinar a amplitude de H. A relação de módulos para onda em espaço livre é |\mathbf{E}|= \eta_0 |\mathbf{H}|. Então a amplitude de H é
H_0=\frac{E_0}{\eta_0}.
Substituindo E_0=0,02\\ \text{V/m} e \eta_0\approx377\\ \Omega:
H_0=\frac{0,02}{377}\\ \text{A/m}\approx 5,305\times10^{-5}\\ \text{A/m}.
Portanto o campo magnético tem amplitude 5,305\times10^{-5} A/m e direção -\hat{\mathbf{x}}. Mantendo a mesma fase da onda elétrica (ondas em espaço livre são co-fase para E e H usando a fórmula com o produto vetorial), obtemos
\mathbf{H}(z,t)=-\left(\frac{0,02}{377}\right)\cos\!\left(7,5\times10^{8}\,t-\beta z\right)\hat{\mathbf{x}}.

Passo 5

Determinar \beta. Para uma onda harmônica em espaço livre a constante de fase satisfaz
\beta = \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0} = \frac{\omega}{c}.
Aqui \omega=7,5\times10^{8}\\ \text{s}^{-1} e c\approx3\times10^{8}\\ \text{m/s}, logo
\beta=\frac{7,5\times10^{8}}{3\times10^{8}}=2,5\\ \text{rad/m}.
Pode-se também derivar isso a partir da relação de dispersão \beta^2=\omega^2\mu_0\epsilon_0, que vem de combinar as equações de Maxwell para campos harmônicos.

Passo 6

Juntando tudo e escrevendo H(z,t) de forma final com números:
\mathbf{H}(z,t)=-5,305\times10^{-5}\cos\!\left(7,5\times10^{8}\,t-2,5\,z\right)\,\hat{\mathbf{x}}\\ \text{[A/m]}.
Um comentário amigo: a amplitude de H é bem pequena porque a impedância do vácuo é grande ( \approx377\\ \Omega), então para um E de apenas 0,02 V/m o H fica na casa dos 10^{-5} A/m. Segura a ansiedade — é só seguir essas relações em prova e você resolve rapidinho!

Resposta

\mathbf{H}(z,t)=-5,305\times10^{-5}\cos\!\left(7,5\times10^{8}\,t-2,5\,z\right)\,\hat{\mathbf{x}}\\ \text{[A/m]}\n
\beta=2,5\\ \text{rad/m}

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