Seja o campo elétrico de uma onda eletromagnética utilizada por um avião para se comunicar com a torre de controle expresso por
j [V/m]. Usando as equações de Maxwell determine a intensidade de campo magnético
e a constante de fase
. ( 2,0 pontos).
Passo 1
O enunciado nos dá o campo elétrico de uma onda eletromagnética e pede duas coisas:
- Determinar
, a intensidade do campo magnético (unidade A/m). - Determinar a constante de fase
(unidade rad/m).
Informações fornecidas:
- Campo elétrico:
Aqui peguei do enunciado que a amplitude é V/m, a pulsação é , a dependência espacial é em e a direção do campo é . - A onda propaga-se na direção
(pois o argument é ).
O que pediram:
-
(vetor, direção e amplitude, função de e ); - valor numérico de
.
Passo 2
Relembrando a relação fundamental entre
e
para uma onda plana em espaço livre (usando as equações de Maxwell):
onde
é a permeabilidade do vácuo e
é a permissividade do vácuo. Para ondas planas harmônicas em espaço livre existe também a relação direta de amplitude:
onde
é o versor da direção de propagação e
é a impedância intrínseca do vácuo. Vou usar essas relações (elas são consequência direta das equações de Maxwell e são muito práticas em prova).
Valores conhecidos:
e
Passo 3
Determinar a direção de
. A onda propaga-se no sentido
, logo
. O campo elétrico está em
. Usando
temos:
Portanto o campo magnético será paralelo a
com sinal negativo, ou seja apontando em
.
Explicando em miúdos: para uma onda que vai em
,
em
implica
em
(regra da mão direita aplicada ao triângulo
). Ôtimo — já sabemos a direção.
Passo 4
Determinar a amplitude de
. A relação de módulos para onda em espaço livre é
. Então a amplitude de
é
Substituindo
e
:
Portanto o campo magnético tem amplitude
A/m e direção
. Mantendo a mesma fase da onda elétrica (ondas em espaço livre são co-fase para
e
usando a fórmula com o produto vetorial), obtemos
Passo 5
Determinar
. Para uma onda harmônica em espaço livre a constante de fase satisfaz
Aqui
e
, logo
Pode-se também derivar isso a partir da relação de dispersão
, que vem de combinar as equações de Maxwell para campos harmônicos.
Passo 6
Juntando tudo e escrevendo
de forma final com números:
Um comentário amigo: a amplitude de
é bem pequena porque a impedância do vácuo é grande (
), então para um
de apenas
V/m o
fica na casa dos
A/m. Segura a ansiedade — é só seguir essas relações em prova e você resolve rapidinho!