Uma onda plana e uniforme no ar é caracterizada pelo campo elétrico incidente expresso por
E_{i n c}=100 \operatorname{sen}(\omega t-\beta z) / 200 \cos (\omega t-\beta z) j m V / m .
Determine a componente de intensidade de campo magnético associada. Se essa onda encontrar um plano perfeitamente condutor, normal à direção de propagação em z=0, determine as componentes de campo refletidos E_{\text {ref }}(z, t) e H_{\text {ref }}(z, t) \cdot(2,0 pontos).

Passo 1

O enunciado dá um campo elétrico de uma onda plana incidente no ar e pede duas coisas: (1) determinar a componente de intensidade de campo magnético associada a essa onda incidente; (2) supondo que a onda encontre um plano perfeitamente condutor, normal à direção de propagação em z=0, determinar os campos refletidos E_{\text{ref}}(z,t) e H_{\text{ref}}(z,t).
Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
  • Campo elétrico incidente (interpreto a notação como componentes em \hat{x} e \hat{y}):
E_{\text{inc}}(z,t)=100\sin(\omega t-\beta z)\,\hat{x}+200\cos(\omega t-\beta z)\,\hat{y}\quad\text{(V/m).}
  • Meio: ar (portanto impedância intrínseca \eta_0 conhecida; usarei \eta_0\approx120\pi\approx377\\ \Omega).
  • Plano condutor perfeito em z=0, normal à direção z.
O que se pede explicitamente:
  • H_{\text{inc}}(z,t) (a componente de intensidade de campo magnético associada à onda incidente).
  • E_{\text{ref}}(z,t) e H_{\text{ref}}(z,t) quando a onda incide sobre o plano perfeitamente condutor em z=0.

Passo 2

Relembrando a relação básica entre E, H e direção de propagação para uma onda plana em meio homogêneo e isotrópico:
  • Para uma onda que se propaga na direção do versor \hat{k}, os campos satisfazem
H=\frac{1}{\eta}\,\hat{k}\times E,
onde \eta é a impedância do meio ( \eta_0 no ar). Explicando: o produto vetorial \hat{k}\times E dá um vetor ortogonal a \hat{k} e a E; a divisão por \eta ajusta as unidades (V/m divididos por \Omega dá A/m), que é a unidade de H.
No nosso caso a onda incidente tem fase \omega t-\beta z, logo está se propagando na direção +z. Assim \hat{k}=\hat{z}. Aplicando a fórmula:
H_{\text{inc}}(z,t)=\frac{1}{\eta_0}\,\hat{z}\times E_{\text{inc}}(z,t).
Agora calculamos o produto vetorial componente a componente. Usamos as regras:
\hat{z}\times\hat{x}=\hat{y},\qquad \hat{z}\times\hat{y}=-\hat{x}.
Substituindo E_{\text{inc}}:
\begin{aligned} H_{\text{inc}}(z,t) &=\frac{1}{\eta_0}\big[\,100\sin(\omega t-\beta z)\,(\hat{z}\times\hat{x}) +200\cos(\omega t-\beta z)\,(\hat{z}\times\hat{y})\,\big]\\[4pt] &=\frac{1}{\eta_0}\big[\,100\sin(\omega t-\beta z)\,\hat{y} +200\cos(\omega t-\beta z)\,(-\hat{x})\,\big]\\[4pt] &=\frac{1}{\eta_0}\big[\,100\sin(\omega t-\beta z)\,\hat{y} -200\cos(\omega t-\beta z)\,\hat{x}\,\big]. \end{aligned}
Essa é a expressão simbólica. Se quiser valores numéricos aproximados usando \eta_0\approx377\\ \Omega:
\frac{100}{\eta_0}\approx0,265\\ \text{A/m},\qquad \frac{200}{\eta_0}\approx0,531\\ \text{A/m},
portanto, numericamente,
H_{\text{inc}}(z,t)\approx -0{,}531\cos(\omega t-\beta z)\,\hat{x} +0{,}265\sin(\omega t-\beta z)\,\hat{y}\quad\text{(A/m).}]

Passo 3

Agora tratar a reflexão no plano perfeitamente condutor em z=0. Conceitos essenciais (passo didático):
  • Uma superfície de condutor perfeito impõe que o campo elétrico tangencial na superfície seja nulo. Ou seja, no plano z=0:
E_{\text{tot},\text{tan}}(z=0,t)=E_{\text{inc},\text{tan}}(0,t)+E_{\text{ref},\text{tan}}(0,t)=0.
  • A onda refletida se propaga no sentido oposto, isto é com fase \omega t+\beta z (porque para onda indo em -z a fase é \omega t-\beta(-z)=\omega t+\beta z).
  • Como a condição em z=0 exige cancelamento total das componentes tangenciais, a amplitude vetorial da onda refletida deve ser o negativo da da incidente (no mesmo sistema de polarização), avaliadas na mesma função temporal. Assim obtemos diretamente:
E_{\text{ref}}(z,t)=-\Big[\,100\sin(\omega t+\beta z)\,\hat{x} +200\cos(\omega t+\beta z)\,\hat{y}\Big].
Explicando: o sinal negativo garante que E_{\text{inc}}(0,t)+E_{\text{ref}}(0,t)=0 para todo t.

Passo 4

Calcular H_{\text{ref}}(z,t) associado à onda refletida. A onda refletida tem vetor de propagação \hat{k}_{\text{ref}}=-\hat{z}. Aplicamos novamente a fórmula local:
H_{\text{ref}}(z,t)=\frac{1}{\eta_0}\,\hat{k}_{\text{ref}}\times E_{\text{ref}}(z,t) =\frac{1}{\eta_0}\,(-\hat{z})\times E_{\text{ref}}(z,t).
Fazendo os produtos vetoriais (lembre: -\hat{z}\times\hat{x}=-\hat{y} e -\hat{z}\times\hat{y}=+\hat{x}):
\begin{aligned} H_{\text{ref}}(z,t) &=\frac{1}{\eta_0}\Big[-\hat{z}\times\big(-100\sin(\omega t+\beta z)\,\hat{x} -200\cos(\omega t+\beta z)\,\hat{y}\big)\Big]\\[4pt] &=\frac{1}{\eta_0}\Big[\,100\sin(\omega t+\beta z)\,(-\hat{z}\times\hat{x}) +200\cos(\omega t+\beta z)\,(-\hat{z}\times\hat{y})\Big]\\[4pt] &=\frac{1}{\eta_0}\Big[\,100\sin(\omega t+\beta z)\,(-\hat{y}) +200\cos(\omega t+\beta z)\,(\hat{x})\Big]\\[4pt] &=\frac{1}{\eta_0}\Big[\,200\cos(\omega t+\beta z)\,\hat{x} -100\sin(\omega t+\beta z)\,\hat{y}\Big]. \end{aligned}
Reorganizando a ordem dos termos para ficar no mesmo padrão do H_{\text{inc}}:
H_{\text{ref}}(z,t)=\frac{1}{\eta_0}\big[\, -100\sin(\omega t+\beta z)\,\hat{y} +200\cos(\omega t+\beta z)\,\hat{x}\,\big].
Observação: comparando com H_{\text{inc}}, nota-se que os sinais e argumentos mudam de forma consistente com a inversão da direção de propagação; numericamente, usando \eta_0\approx377\\ \Omega,
H_{\text{ref}}(z,t)\approx -0{,}265\sin(\omega t+\beta z)\,\hat{y} +0{,}531\cos(\omega t+\beta z)\,\hat{x}\quad\text{(A/m).}]

Resposta

H_{\text{inc}}(z,t)=\frac{1}{\eta_0}\big[\,100\sin(\omega t-\beta z)\,\hat{y} -200\cos(\omega t-\beta z)\,\hat{x}\,\big]
E_{\text{ref}}(z,t)=-\Big[\,100\sin(\omega t+\beta z)\,\hat{x} +200\cos(\omega t+\beta z)\,\hat{y}\Big]
H_{\text{ref}}(z,t)=\frac{1}{\eta_0}\big[\,200\cos(\omega t+\beta z)\,\hat{x} -100\sin(\omega t+\beta z)\,\hat{y}\,\big]

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