1. Considere uma OPERAÇÃO, simbolizada pelo sinal " * ", a qual denominaremos de “operação estrela”, definida sobre o conjunto dos números Naturais pela seguinte regra:
\forall a, b \in I N, \quad a^{*} b=a+2 b
a) Calcule o valor de 4 * 3
b) Calcule o valor de (2 * 5) * 3
c) Prove o fechamento desta OPERAÇÃO sobre o conjunto dos números Naturais, ou seja, mostre, apontando argumentos válidos, que o resultado desta operação sempre será, também, um número natural.

Passo 1

O enunciado nos dá uma “operação estrela” definida sobre os números naturais e pede três coisas. Dados e perguntas (tudo retirado do enunciado):
  • Regra da operação: \forall a,b\in\mathbb{N},\quad a^{*}b = a + 2b.
  • Pergunta (a): calcular \;4^{*}3.
  • Pergunta (b): calcular \;(2^{*}5)^{*}3.
  • Pergunta (c): provar o fechamento da operação sobre o conjunto dos números naturais, isto é, mostrar que para quaisquer a,b\in\mathbb{N} o resultado a^{*}b também é um número natural.

Passo 2

Resolver a letra (a) fazendo substituição direta na definição. Substituir a=4 e b=3 em \,a^{*}b=a+2b.
4^{*}3 = 4 + 2\cdot 3.
Calcule o produto e a soma:
4^{*}3 = 4 + 6 = 10.

Passo 3

Resolver a letra (b) em duas etapas: primeiro calcular o parêntese interno 2^{*}5, depois aplicar a operação com 3.
Primeiro:
2^{*}5 = 2 + 2\cdot 5 = 2 + 10 = 12.
Agora usar esse resultado como primeiro argumento:
(2^{*}5)^{*}3 = 12^{*}3 = 12 + 2\cdot 3 = 12 + 6 = 18.

Passo 4

Explicar e preparar a prova do fechamento pedida na letra (c). Primeiro lembrança do que é fechamento:
  • Uma operação binária * é fechada em \mathbb{N} se, sempre que a e b são naturais, o resultado a^{*}b também é natural. Em notação: \forall a,b\in\mathbb{N},\\ a^{*}b\in\mathbb{N}.
Agora vamos usar duas propriedades básicas (essas são propriedades fundamentais dos naturais):
  1. A soma de dois números naturais é um número natural. Isto é, \forall x,y\in\mathbb{N},\\ x+y\in\mathbb{N}.
  2. O produto de dois números naturais é um número natural. Em particular, para 2\in\mathbb{N} e qualquer b\in\mathbb{N}, tem-se 2\cdot b\in\mathbb{N}.
Vou explicar por que (2) é óbvio na prática: multiplicar por 2 significa somar o número com ele mesmo, ou seja,
2\cdot b = b + b.
Pelo item (1), como b\in\mathbb{N} então b+b\in\mathbb{N}; portanto 2\cdot b\in\mathbb{N}.

Passo 5

Usar as propriedades para concluir o fechamento da operação:
  • Dado a,b\in\mathbb{N}, já vimos que 2\cdot b\in\mathbb{N} (porque é b+b e soma de naturais dá natural).
  • Agora, somando a (natural) com 2b (natural), pela propriedade (1) do fechamento da soma, obtemos
a + 2b \in \mathbb{N}.
  • Mas a^{*}b é exatamente a+2b. Logo
\forall a,b\in\mathbb{N},\quad a^{*}b = a + 2b \in \mathbb{N},
ou seja, a operação estrela é fechada em \mathbb{N}.

Resposta

(a) 10
(b) 18
(c) A operação é fechada em \mathbb{N}: \forall a,b\in\mathbb{N},\\ a^{*}b\in\mathbb{N}.

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