- Considere uma OPERAÇÃO, simbolizada pelo sinal " * ", a qual denominaremos de “operação estrela”, definida sobre o conjunto dos números Naturais pela seguinte regra:
a) Calcule o valor de
b) Calcule o valor de
c) Prove o fechamento desta OPERAÇÃO sobre o conjunto dos números Naturais, ou seja, mostre, apontando argumentos válidos, que o resultado desta operação sempre será, também, um número natural.
b) Calcule o valor de
c) Prove o fechamento desta OPERAÇÃO sobre o conjunto dos números Naturais, ou seja, mostre, apontando argumentos válidos, que o resultado desta operação sempre será, também, um número natural.
Passo 1
O enunciado nos dá uma “operação estrela” definida sobre os números naturais e pede três coisas. Dados e perguntas (tudo retirado do enunciado):
- Regra da operação:
- Pergunta (a): calcular
- Pergunta (b): calcular
- Pergunta (c): provar o fechamento da operação sobre o conjunto dos números naturais, isto é, mostrar que para quaisquer
o resultado também é um número natural.
Passo 2
Resolver a letra (a) fazendo substituição direta na definição. Substituir
e
em
.
Calcule o produto e a soma:
Passo 3
Resolver a letra (b) em duas etapas: primeiro calcular o parêntese interno
, depois aplicar a operação com
.
Primeiro:
Agora usar esse resultado como primeiro argumento:
Passo 4
Explicar e preparar a prova do fechamento pedida na letra (c). Primeiro lembrança do que é fechamento:
- Uma operação binária
é fechada em se, sempre que e são naturais, o resultado também é natural. Em notação:
Agora vamos usar duas propriedades básicas (essas são propriedades fundamentais dos naturais):
- A soma de dois números naturais é um número natural. Isto é,
- O produto de dois números naturais é um número natural. Em particular, para
e qualquer , tem-se
Vou explicar por que (2) é óbvio na prática: multiplicar por
significa somar o número com ele mesmo, ou seja,
Pelo item (1), como
então
; portanto
.
Passo 5
Usar as propriedades para concluir o fechamento da operação:
- Dado
, já vimos que (porque é e soma de naturais dá natural). - Agora, somando
(natural) com (natural), pela propriedade (1) do fechamento da soma, obtemos
- Mas
é exatamente . Logo
ou seja, a operação estrela é fechada em
.
Resposta
(a)
(b)
(c) A operação é fechada em :
.
(b)
(c) A operação é fechada em