Q15: Seja p(x)=-7-16 x+21 x^{2} e \beta=\left\{2+2 x-4 x^{2}, \quad 2+5 x-7 x^{2}, \quad 3+6 x-11 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -4
(B) 1
(C) 3
(D) -2
(E) -1
(F) 2
(G) 4
(H) -3

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=-7-16x+21x^{2} e a base \beta=\{\,2+2x-4x^{2},\;2+5x-7x^{2},\;3+6x-11x^{2}\,\}.
Pede-se a coordenada c do vetor [p]_{\beta}=(a,b,c), isto é, o número c tal que existam a,b satisfazendo
a\bigl(2+2x-4x^{2}\bigr)+b\bigl(2+5x-7x^{2}\bigr)+c\bigl(3+6x-11x^{2}\bigr)= -7-16x+21x^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • p(x) = -7 -16x +21x^{2}.
  • Vetores da base:
    • v_{1}=2+2x-4x^{2},
    • v_{2}=2+5x-7x^{2},
    • v_{3}=3+6x-11x^{2}.
  • Queremos o coeficiente c na combinação linear a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}=p.

Passo 2

Explicação didática do método: para achar as coordenadas (a,b,c) escrevemos a igualdade de polinômios e então comparamos coeficientes de cada potência de x. Isso é válido porque dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes de 1,x,x^{2},\dots forem iguais termo a termo. Portanto vamos expandir a combinação linear e igualar os coeficientes das potências x^{0} (constante), x^{1} e x^{2}.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear e coletando coeficientes:
a(2+2x-4x^{2})+b(2+5x-7x^{2})+c(3+6x-11x^{2})
Coeficiente constante (de x^{0}):
2a+2b+3c.
Coeficiente de x:
2a+5b+6c.
Coeficiente de x^{2}:
-4a-7b-11c.
Igualando com os coeficientes de p(x) obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 2a+2b+3c = -7,\\[4pt] 2a+5b+6c = -16,\\[4pt] -4a-7b-11c = 21. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema por eliminação, com passos claros e sem pular contas.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2a+5b+6c)-(2a+2b+3c)= -16 - (-7)
que dá
3b+3c = -9.
Dividindo por 3:
b+c = -3. \tag{I}
Agora eliminamos a combinando a terceira equação com o dobro da primeira. Multiplicando a primeira por 2:
4a+4b+6c = -14.
Somando com a terceira equação -4a-7b-11c=21 resulta
(4a-4a)+(4b-7b)+(6c-11c)= -14+21,
portanto
-3b-5c = 7.
Multiplicando por -1:
3b+5c = -7. \tag{II}
Agora subtraímos a equação obtida a partir de (I) multiplicada por 3 de (II). Da (I) multiplicada por 3 temos 3b+3c=-9. Subtraindo:
(3b+5c)-(3b+3c) = -7 - (-9).
Isso dá
2c = 2.
Logo
c = 1.

Passo 5

Verificação rápida (opcional mas útil): com c=1, da (I) temos b = -3 - c = -4. Substituindo b=-4 e c=1 na primeira equação 2a+2b+3c=-7:
2a+2(-4)+3(1) = -7 \quad\Rightarrow\quad 2a -8 +3 = -7,
2a -5 = -7 \quad\Rightarrow\quad 2a = -2 \quad\Rightarrow\quad a = -1.
Assim (a,b,c)=(-1,-4,1) de fato satisfaz todas as equações, confirmando c=1.

Resposta

1

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