Q15: Seja p(x)=-7-16 x+21 x^{2} e \beta=\left\{2+2 x-4 x^{2}, \quad 2+5 x-7 x^{2}, \quad 3+6 x-11 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -4
(B) 1
(C) 3
(D) -2
(E) -1
(F) 2
(G) 4
(H) -3
Passo 1
O enunciado dá o polinômio p(x)=-7-16x+21x^{2} e a base \beta=\{\,2+2x-4x^{2},\;2+5x-7x^{2},\;3+6x-11x^{2}\,\}.
Pede-se a coordenada c do vetor [p]_{\beta}=(a,b,c), isto é, o número c tal que existam a,b satisfazendo
Queremos o coeficiente c na combinação linear a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}=p.
Passo 2
Explicação didática do método: para achar as coordenadas (a,b,c) escrevemos a igualdade de polinômios e então comparamos coeficientes de cada potência de x. Isso é válido porque dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes de 1,x,x^{2},\dots forem iguais termo a termo. Portanto vamos expandir a combinação linear e igualar os coeficientes das potências x^{0} (constante), x^{1} e x^{2}.
Passo 3
Escrevendo a combinação linear e coletando coeficientes:
a(2+2x-4x^{2})+b(2+5x-7x^{2})+c(3+6x-11x^{2})
Coeficiente constante (de x^{0}):
2a+2b+3c.
Coeficiente de x:
2a+5b+6c.
Coeficiente de x^{2}:
-4a-7b-11c.
Igualando com os coeficientes de p(x) obtemos o sistema linear: