Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de)\mathbb{R}^{3}
A=\left{\vec{v}{1}, \vec{v}{2}\right}, B=\left{\vec{v}{1}, \vec{v}{3}\right}, C=\left{\vec{v}{2}, \vec{v}{3}\right}).
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
não são coplanares, então
é uma base de
.
II. Se
), então
é uma base de)\mathbb{R}^{3}$.
III. Se
é gerador do
, então
é LI .
(A) Todas são falsas.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Só II é verdadeira.
(H) Só III é verdadeira.
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Todas são falsas.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Só II é verdadeira.
(H) Só III é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá um conjunto
de três vetores distintos em
e define os subconjuntos
Pede-se decidir a veracidade das três afirmativas abaixo e, em seguida, escolher a alternativa correta:
I. Se não são coplanares, então
é uma base de
.
II. Se , então
é uma base de
.
III. Se é gerador de
, então
é linearmente independente.
Pede-se decidir a veracidade das três afirmativas abaixo e, em seguida, escolher a alternativa correta:
I. Se
II. Se
III. Se
Informações relevantes fornecidas:
- Existem exatamente três vetores, todos em
. - Os vetores são distintos (mas nada mais é dado sobre dependência/independência além das hipóteses em cada afirmativa).
- As afirmativas I–III devem ser julgadas como verdadeiras ou falsas.
Passo 2
Vamos rever os conceitos fundamentais que vamos usar (passo-a-passo e com linguagem simples):
Definição de span / gerador:
- Para um conjunto de vetores
, é o conjunto de todas as combinações lineares de vetores em . Dizer que é gerador (ou que gera ) significa .
Definição de linearmente independente (LI):
- Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Formalmente,
implica .
Definição de base:
- Uma base de
é um conjunto que simultaneamente gera e é linearmente independente. Em , qualquer conjunto de exatamente três vetores que seja linearmente independente é automaticamente uma base, porque uma LI de três vetores tem dimensão e, portanto, gera . Do mesmo modo, qualquer conjunto de três vetores que gere é automaticamente LI (pois tamanho = dimensão).
Significado de “coplanares”:
- Três vetores são coplanares se todos pertencem a um mesmo plano (uma subvariedade bidimensional). Em
, isso significa que um dos vetores está no span dos outros dois. Se três vetores NÃO são coplanares, o terceiro não fica no plano gerado pelos dois primeiros.
Essas definições serão usadas diretamente para julgar I–III.
Passo 3
Análise da afirmativa I:
I diz: “Se não são coplanares, então
é uma base de
.”
I diz: “Se
Explicação passo a passo:
- “Não ser coplanares” significa que os três vetores não pertencem ao mesmo plano; logo o terceiro vetor não está em
. - Isso implica que adicionando o terceiro vetor ao par
aumentamos a dimensão do subespaço gerado para 3. Em termos simples: dois vetores geram no máximo um plano; se o terceiro não está nesse plano, passa-se a gerar todo o espaço tridimensional. - Portanto
. - Como temos exatamente três vetores em
e eles geram , segue que são linearmente independentes (num espaço de dimensão 3, um conjunto gerador com 3 vetores é base). Assim é base de .
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmativa II:
II diz: “Se , então
é uma base de
.”
II diz: “Se
Vamos entender com calma:
- A condição
garante que não está no plano gerado por e . Isso implica que o conjunto tem rangem pelo menos 2 aumentado pelo terceiro vetor; porém não garante sozinho que o conjunto todo seja LI de tamanho 3—depende se e já eram independentes ou não. - Se
e forem linearmente independentes, então faz com que os três sejam LI e, portanto, formam base. Mas o enunciado não assume que e sejam LI; ele só dá que não está no span dos dois.
Contraexemplo explícito (muito útil na prova):
- Tome
, (então , ou seja, e são linearmente dependentes), e escolha . - Aqui
porque é apenas o eixo . - Contudo o conjunto
tem apenas duas direções independentes ( e ), logo não gera nem é LI; não é base. - Portanto a hipótese dada em II não é suficiente para garantir que os três formem uma base.
Conclusão: a afirmativa II é falsa (existe contraexemplo).
Passo 5
Análise da afirmativa III:
III diz: “Se é gerador de
, então
é LI.”
III diz: “Se
Raciocínio detalhado:
-
tem três vetores e, pela hipótese, gera . Num espaço de dimensão 3, qualquer conjunto de 3 vetores que gera todo o espaço tem obrigatoriamente rank ; em outras palavras, um conjunto gerador de com exatamente três elementos é uma base. - Sendo
uma base (pois gera e tem tamanho igual à dimensão), os vetores são linearmente independentes. - Uma propriedade básica: todo subconjunto de um conjunto linearmente independente também é linearmente independente. Assim o subconjunto
é necessariamente linearmente independente. - (Intuição curta: se
e fossem dependentes, já existiria uma combinação não-trivial envolvendo só eles que daria zero, e então o conjunto com os três não poderia ser independente nem gerar todo o espaço.)
Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Resumo dos resultados das três afirmativas:
- I é verdadeira.
- II é falsa (apresentado contraexemplo).
- III é verdadeira.
Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que corresponde a “Só I e III são verdadeiras” é a alternativa (B).
Resposta
(B)