Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de)\mathbb{R}^{3} . SejamA=\left{\vec{v}{1}, \vec{v}{2}\right}, B=\left{\vec{v}{1}, \vec{v}{3}\right}, C=\left{\vec{v}{2}, \vec{v}{3}\right}).
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} não são coplanares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
II. Se \vec{v}_{3} \notin \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}), então \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} é uma base de)\mathbb{R}^{3}$.
III. Se S é gerador do \mathbb{R}^{3}, então A é LI .
(A) Todas são falsas.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Só II é verdadeira.
(H) Só III é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto S=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de três vetores distintos em \mathbb{R}^{3} e define os subconjuntos
\;A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\},\;B=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\},\;C=\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}.
Pede-se decidir a veracidade das três afirmativas abaixo e, em seguida, escolher a alternativa correta:
I. Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} não são coplanares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
II. Se \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, então \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.
III. Se S é gerador de \mathbb{R}^{3}, então A é linearmente independente.
Informações relevantes fornecidas:
  • Existem exatamente três vetores, todos em \mathbb{R}^{3}.
  • Os vetores são distintos (mas nada mais é dado sobre dependência/independência além das hipóteses em cada afirmativa).
  • As afirmativas I–III devem ser julgadas como verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Vamos rever os conceitos fundamentais que vamos usar (passo-a-passo e com linguagem simples):
Definição de span / gerador:
  • Para um conjunto de vetores X, \operatorname{span}(X) é o conjunto de todas as combinações lineares de vetores em X. Dizer que X é gerador (ou que gera \mathbb{R}^{3}) significa \operatorname{span}(X)=\mathbb{R}^{3}.
Definição de linearmente independente (LI):
  • Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Formalmente, a\vec{u}+b\vec{v}+\cdots= \vec{0} implica a=b=\cdots=0.
Definição de base:
  • Uma base de \mathbb{R}^{3} é um conjunto que simultaneamente gera \mathbb{R}^{3} e é linearmente independente. Em \mathbb{R}^{3}, qualquer conjunto de exatamente três vetores que seja linearmente independente é automaticamente uma base, porque uma LI de três vetores tem dimensão 3 e, portanto, gera \mathbb{R}^{3}. Do mesmo modo, qualquer conjunto de três vetores que gere \mathbb{R}^{3} é automaticamente LI (pois tamanho = dimensão).
Significado de “coplanares”:
  • Três vetores são coplanares se todos pertencem a um mesmo plano (uma subvariedade bidimensional). Em \mathbb{R}^{3}, isso significa que um dos vetores está no span dos outros dois. Se três vetores NÃO são coplanares, o terceiro não fica no plano gerado pelos dois primeiros.
Essas definições serão usadas diretamente para julgar I–III.

Passo 3

Análise da afirmativa I:
I diz: “Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} não são coplanares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.”
Explicação passo a passo:
  • “Não ser coplanares” significa que os três vetores não pertencem ao mesmo plano; logo o terceiro vetor não está em \operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}.
  • Isso implica que adicionando o terceiro vetor ao par \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} aumentamos a dimensão do subespaço gerado para 3. Em termos simples: dois vetores geram no máximo um plano; se o terceiro não está nesse plano, passa-se a gerar todo o espaço tridimensional.
  • Portanto \operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}=\mathbb{R}^{3}.
  • Como temos exatamente três vetores em \mathbb{R}^{3} e eles geram \mathbb{R}^{3}, segue que são linearmente independentes (num espaço de dimensão 3, um conjunto gerador com 3 vetores é base). Assim S é base de \mathbb{R}^{3}.
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Análise da afirmativa II:
II diz: “Se \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, então \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.”
Vamos entender com calma:
  • A condição \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} garante que \vec{v}_{3} não está no plano gerado por \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}. Isso implica que o conjunto \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} tem rangem pelo menos 2 aumentado pelo terceiro vetor; porém não garante sozinho que o conjunto todo seja LI de tamanho 3—depende se \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} já eram independentes ou não.
  • Se \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} forem linearmente independentes, então \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} faz com que os três sejam LI e, portanto, formam base. Mas o enunciado não assume que \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} sejam LI; ele só dá que \vec{v}_{3} não está no span dos dois.
Contraexemplo explícito (muito útil na prova):
  • Tome \vec{v}_{1}=(1,0,0), \vec{v}_{2}=(2,0,0) (então \vec{v}_{2}=2\vec{v}_{1}, ou seja, \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são linearmente dependentes), e escolha \vec{v}_{3}=(0,1,0).
  • Aqui \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} porque \operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}=\{(x,0,0)\} é apenas o eixo x.
  • Contudo o conjunto \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} tem apenas duas direções independentes ( \vec{v}_{1} e \vec{v}_{3}), logo não gera \mathbb{R}^{3} nem é LI; não é base.
  • Portanto a hipótese dada em II não é suficiente para garantir que os três formem uma base.
Conclusão: a afirmativa II é falsa (existe contraexemplo).

Passo 5

Análise da afirmativa III:
III diz: “Se S é gerador de \mathbb{R}^{3}, então A é LI.”
Raciocínio detalhado:
  • S tem três vetores e, pela hipótese, gera \mathbb{R}^{3}. Num espaço de dimensão 3, qualquer conjunto de 3 vetores que gera todo o espaço tem obrigatoriamente rank 3; em outras palavras, um conjunto gerador de \mathbb{R}^{3} com exatamente três elementos é uma base.
  • Sendo S uma base (pois gera e tem tamanho igual à dimensão), os vetores \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são linearmente independentes.
  • Uma propriedade básica: todo subconjunto de um conjunto linearmente independente também é linearmente independente. Assim o subconjunto A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} é necessariamente linearmente independente.
  • (Intuição curta: se \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} fossem dependentes, já existiria uma combinação não-trivial envolvendo só eles que daria zero, e então o conjunto com os três não poderia ser independente nem gerar todo o espaço.)
Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Resumo dos resultados das três afirmativas:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa (apresentado contraexemplo).
  • III é verdadeira.
Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que corresponde a “Só I e III são verdadeiras” é a alternativa (B).

Resposta

(B)

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