Considere as operações com vetores e julgue as sentenças em verdadeiro (V) ou falso (F): I) Se u e v são vetores de um espaço bi ou tridimensional e k um escalar temos que k(u●v) =ku●kv. II) Em espaço vetorial tridimensional é possível aplicar o produto vetorial de dois vetores u e v , ou seja, uxv. III) Os vetores unitários canônicos i, j, e k não geram o espaço tridimensional R³. Assinale a alternativa correta que corresponde respectivamente ao julgamento das sentenças: Escolha uma: a. V, F, F. b. V, V, V. c. F, F, V. d. V, F, V. e. F, V, F.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem três afirmações sobre operações com vetores em espaços bidimensionais e tridimensionais. Nosso objetivo é dizer se cada uma é verdadeira (V) ou falsa (F). Para resolver isso, vamos precisar entender operações como produto escalar e produto vetorial, além de conceitos sobre vetores unitários canônicos. Vamos lá!
Passo 2
Afirmação I: Se u e v são vetores de um espaço bidimensional ou tridimensional e k um escalar, temos que $ k(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) = k\mathbf{u} \cdot k\mathbf{v} $.
Vamos entender o que isso significa. O produto escalar (ou interno) entre dois vetores
e
é dado por:
onde
é o ângulo entre eles.
Agora, se multiplicarmos um dos vetores por um escalar
, teremos:
Por outro lado:
Comparando as duas expressões, vemos que $ k(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) $ não é igual a $ k^2 (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) $ a menos que $ k = 1 $ ou $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 $. Em geral, a afirmação não é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: Em espaço vetorial tridimensional é possível aplicar o produto vetorial de dois vetores
e
, ou seja,
.
O produto vetorial é uma operação que só está definida em espaços tridimensionais. Dá-nos um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais e tem magnitude igual à área do paralelogramo formado por eles.
Dado que estamos em um espaço tridimensional, sim, podemos sempre aplicar o produto vetorial a dois vetores quaisquer
e
. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Passo 4
Afirmação III: Os vetores unitários canônicos
,
, e
não geram o espaço tridimensional
.
Os vetores unitários canônicos
,
, e
são os vetores que têm magnitude 1 e estão alinhados respectivamente aos eixos x, y e z. Eles são básicos para gerar qualquer vetor em
através de combinações lineares:
onde
,
, e
são escalares.
Como podemos obter qualquer vetor em
a partir desses três vetores, eles realmente geram o espaço tridimensional. Portanto, a afirmação é falsa.
Resposta
A sequência correta é: F, V, F.
Portanto, a alternativa correta é a alternativa c.