Dada a função quadrática f(x) = −4x² + 4x + 5, determine:
a) A concavidade da parábola;
b) As raízes da função;
c) O vértice da parábola definida pela função;
d) A intersecção com o eixo x;
e) A intersecção com o eixo y;
f) O eixo de simetria;
g) Im(f);
h) O esboço do gráfico apresentando todos os pontos anteriores.
a) A concavidade da parábola;
b) As raízes da função;
c) O vértice da parábola definida pela função;
d) A intersecção com o eixo x;
e) A intersecção com o eixo y;
f) O eixo de simetria;
g) Im(f);
h) O esboço do gráfico apresentando todos os pontos anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa função quadrática $ f(x) = -4x^2 + 4x + 5 $. A gente vai explorar vários aspectos dessa parábola, como sua concavidade, raízes, vértice, intersecções com os eixos, eixo de simetria, imagem e até fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos básicos de funções quadráticas, como o discriminante, a fórmula do vértice e propriedades das parábolas.
Passo 2
a) Concavidade da parábola
A concavidade de uma parábola depende do coeficiente de $ x^2 $ na função quadrática. Se esse coeficiente for negativo, a parábola abre para baixo; se for positivo, abre para cima.
Na nossa função, o coeficiente de $ x^2 $ é -4, que é negativo. Então, a parábola é côncava para baixo.
Passo 3
b) Raízes da função
As raízes da função são os valores de $ x $ onde $ f(x) = 0 $. Para encontrá-las, vamos resolver a equação:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = -4 $, $ b = 4 $ e $ c = 5 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Como $ \Delta > 0 $, temos duas raízes reais:
Então, as raízes são:
Passo 4
c) Vértice da parábola
O vértice de uma parábola dada por $ f(x) = ax^2 + bx + c $ tem coordenadas:
Aqui, $ a = -4 $ e $ b = 4 $.
Calculando $ x_v $:
Agora, substituímos $ x_v $ na função para encontrar $ y_v $:
Então, o vértice é $ \left(\frac{1}{2}, 6\right) $.
Passo 5
d) Intersecção com o eixo x
A intersecção com o eixo x ocorre nas raízes da função, que já encontramos no passo 3:
Então, os pontos de intersecção com o eixo x são:
Passo 6
e) Intersecção com o eixo y
A intersecção com o eixo y ocorre quando $ x = 0 $. Basta substituir $ x = 0 $ na função:
Então, o ponto de intersecção com o eixo y é $ (0, 5) $.
Passo 7
f) Eixo de simetria
O eixo de simetria de uma parábola é uma linha vertical que passa pelo vértice. A equação desse eixo é $ x = x_v $.
Do passo 4, sabemos que $ x_v = \frac{1}{2} $.
Então, o eixo de simetria é:
Passo 8
g) Imagem de f (Im(f))
A imagem de uma função quadrática depende da direção da concavidade:
- Se a parábola abre para cima, a imagem é $ y \geq y_v $.
- Se abre para baixo, como no nosso caso, $ y \leq y_v $.
Do passo 2, a concavidade é para baixo, e do passo 4, $ y_v = 6 $.
Então, a imagem de $ f $ é:
Passo 9
h) Esboço do gráfico
Vamos resumir os pontos que encontramos:
- Vértice: $ \left(\frac{1}{2}, 6\right) $
- Intersecções com o eixo x: $ \left(\frac{1 + \sqrt{6}}{2}, 0\right) $ e $ \left(\frac{1 - \sqrt{6}}{2}, 0\right) $
- Intersecção com o eixo y: $ (0, 5) $
- Eixo de simetria: $ x = \frac{1}{2} $
Com base nisso, o esboço da parábola será uma curva que abre para baixo, com o ponto mais alto no vértice $ \left(\frac{1}{2}, 6\right) $, cruzando o eixo y em $ (0, 5) $ e cruzando o eixo x nos pontos calculados. O eixo de simetria passa pelo vértice.
Resposta
Resumindo:
a) A parábola é côncava para baixo.
b) As raízes são $ \frac{1 + \sqrt{6}}{2} $ e $ \frac{1 - \sqrt{6}}{2} $.
c) O vértice está em $ \left(\frac{1}{2}, 6\right) $.
d) As intersecções com o eixo x são $ \left(\frac{1 + \sqrt{6}}{2}, 0\right) $ e $ \left(\frac{1 - \sqrt{6}}{2}, 0\right) $.
e) A intersecção com o eixo y é $ (0, 5) $.
f) O eixo de simetria é $ x = \frac{1}{2} $.
g) A imagem de $ f $ é $ y \leq 6 $.
h) O gráfico é uma parábola que abre para baixo, com vértice em $ \left(\frac{1}{2}, 6\right) $, cruzando os eixos nos pontos mencionados e simétrica em relação a $ x = \frac{1}{2} $.