Considere o operador A cuja matriz é:
Use o cálculo funcional para obter:
cos (2 A)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
cos(2A) onde
O conteúdo é cálculo funcional de matrizes: vamos usar a decomposição em parte diagonal mais nilpotente e a série de Taylor de
cos e
sin .
Passo 2
Escrevemos
A=I+N , com
Note que
N^3=0 , pois
N é estritamente triangular superior de ordem
3 .
Passo 3
Como
I e
N comutam, usamos a fórmula de adição de função trigonométrica em matrizes:
Mas
cos(2I)=cos2;I e
sin(2I)=sin2;I .
Passo 4
Agora expandimos em série, sabendo que
N^3=0 :
Passo 5
Substituindo em
cos(2A)=cos2,I,(I-2N^2)-sin2,(2N) e calculando
obtemos
Escrevendo em forma de matriz: