Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
cos (2 A)

Passo 1

O enunciado pede para calcular cos(2A) onde
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
O conteúdo é cálculo funcional de matrizes: vamos usar a decomposição em parte diagonal mais nilpotente e a série de Taylor de cos e sin.

Passo 2

Escrevemos A=I+N, com
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Note que N^3=0, pois N é estritamente triangular superior de ordem 3.

Passo 3

Como I e N comutam, usamos a fórmula de adição de função trigonométrica em matrizes:
cos(2A)=cosl(2(I+N)r) =cos(2I),cos(2N);-;sin(2I),sin(2N)
Mas cos(2I)=cos2;I e sin(2I)=sin2;I.

Passo 4

Agora expandimos em série, sabendo que N^3=0:
cos(2N)=I-(2N)^22! =I-2N^2, sin(2N)=2N-(2N)^33! =2N

Passo 5

Substituindo em cos(2A)=cos2,I,(I-2N^2)-sin2,(2N) e calculando
N^2= 0&1&20&0&30&0&0 ^2 = 0&0&30&0&00&0&0 ,
obtemos
cos(2A) =cos2,I ;-;2sin2,N ;-;2cos2,N^2
Escrevendo em forma de matriz:
cos(2A)= cos2 & 0 & 0 0 & cos2 & 0 0 & 0 & cos2 - 2sin2 0&1&20&0&30&0&0 - 2cos2 0&0&30&0&00&0&0

Resposta

cos(2A) = cos2 & -2sin2 & -4sin2 -6cos2 0 & cos2 & -6sin2 0 & 0 & cos2

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