Para que valores de os vetores e [c1 0 2 3 k] geram um espaço tridimensional?
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores em :
e pede para que valores de eles gerem um espaço de dimensão 3. Isso significa que o posto da matriz deve ser exatamente 3.
Passo 2
Vamos construir a matriz 4×4 cujas colunas são esses vetores e calcular seu determinante. Em forma de linhas,
Expandindo por cofactor na primeira linha (apenas as colunas 1 e 4 são não nulas nessa linha), obtemos
Calculando separadamente os dois menores 3×3, chega-se a
Passo 3
Para que a matriz tenha posto menor que 4 precisamos de det A=0. Resolvendo
-4k^2 -2k +6 = 0 Longrightarrow 2k^2 + k -3 = 0 Longrightarrow k = -1pmraiz1+244 =-1pm54,
resultando em
k = 1 ou k = -tfrac32
Passo 4
Só resta verificar que, para k=1 e k=-tfrac32, o posto não cai abaixo de 3. Basta exibir um menor 3times3 não nulo. Por exemplo, as três primeiras colunas restringidas às primeiras três linhas formam
M = 1&0&0 2&-1&2 0&k&1 ,
cujo determinante é
det M = 1cdot(-1cdot1 -2cdot k) = -1 -2k
Para k=1 obtemos -1-2= -3neq0 e para k=-tfrac32 obtemos -1-2(-tfrac32)=2neq0. Logo o posto é exatamente 3 nesses dois casos.