Resolva pelo método de separação de variáveis:
lut=k ux x u(0, t)=0, ux(L, t)=0 u(x, 0)=f(x)

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação do calor
ut = k,uxx
em 0<x<L, t>0, com condições de contorno
u(0,t)=0, ux(L,t)=0
e condição inicial
u(x,0)=f(x)
Vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo
u(x,t)=X(x),T(t)

Passo 2

Substituindo u(x,t)=X(x)T(t) na PDE, obtemos
X(x),T'(t)=k,X''(x),T(t)
Dividindo por k,X(x),T(t), chega-se a
T'(t)k,T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
onde lambda é a constante de separação. Assim surgem duas EDOs:
T'(t)+k,lambda,T(t)=0,
X''(x)+lambda,X(x)=0

Passo 3

Resolvendo o problema de autovalores em X com
X(0)=0, X'(L)=0,
a solução geral de X''+lambda X=0 é
X(x)=Acos(raizlambda,x)+Bsin(raizlambda,x)
Da condição X(0)=0 segue A=0, então X(x)=Bsin(raizlambda,x).
Em X'(L)=0 temos
raizlambda,Bcos(raizlambda,L)=0 Longrightarrow cos(raizlambda,L)=0,
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raizlambdan,L=(2n-1)pi2, lambdan=l(tfrac(2n-1)pi2Lr)^2, n=1,2,dots
e os autofunções são
Xn(x)=sin!l(tfrac(2n-1)pi2L,xr)

Passo 4

A EDO de T tem solução
Tn(t)=Cn,e^-k,lambdan,t
Pela superposição, a solução geral é
u(x,t)=sumn=1^inftybn,e^-k,lambdan,t sin!l(tfrac(2n-1)pi2L,xr)

Passo 5

Impondo u(x,0)=f(x), obtemos a expansão de Fourier–seno
f(x)=sumn=1^inftybn sin!l(tfrac(2n-1)pi2L,xr)
Usando a ortogonalidade
integral0^L sin!l(tfrac(2n-1)pi2Lxr) sin!l(tfrac(2m-1)pi2Lxr),dx =L2,de<anm,
segue
bn=2L integral0^Lf(x), sin!l(tfrac(2n-1)pi2L,xr),dx

Resposta

u(x,t) =sumn=1^infty gl(2Lintegral0^Lf(xi), sin!l(tfrac(2n-1)pi2L,xir),dxigr) expl(-k,l(tfrac(2n-1)pi2Lr)^2tr) sin!l(tfrac(2n-1)pi2L,xr)

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