Resolva pelo método de separação de variáveis:
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação do calor
em
0<x<L ,
t>0 , com condições de contorno
e condição inicial
Vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo
Passo 2
Substituindo
u(x,t)=X(x)T(t) na PDE, obtemos
Dividindo por
k,X(x),T(t) , chega-se a
onde
lambda é a constante de separação. Assim surgem duas EDOs:
Passo 3
Resolvendo o problema de autovalores em
X com
a solução geral de
X''+lambda X=0 é
Da condição
X(0)=0 segue
A=0 , então
X(x)=Bsin(raizlambda,x) .
EmX'(L)=0 temos
Em
logo
e os autofunções são
Passo 4
A EDO de
T tem solução
Pela superposição, a solução geral é
Passo 5
Impondo
u(x,0)=f(x) , obtemos a expansão de Fourier–seno
Usando a ortogonalidade
segue