Considere o operador linear T: R^2 R^2 definido por T(x, y)=(2 y, x). Determine:
(a) O polinômio característico de T.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido por . O objetivo é determinar o polinômio característico de .
Conteúdo da matéria: Operadores lineares e polinômios característicos.
O que vamos precisar:
  • Representar o operador linear como uma matriz.
  • Calcular o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e é um escalar.
  • Formular o polinômio característico a partir desse determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = 0 & 2 1 & 0 como uma matriz. Para isso, aplicamos aos vetores da base padrão de , que são e .
Assim, a matriz de na base padrão é:

Passo 3

Agora, vamos calcular T - lambda I = 0 & 2 1 & 0 - lambda & 0 0 & lambda = -lambda & 2 1 & -lambda , onde é a matriz identidade de ordem 2 e é um escalar.

[
T - \lambda I =


]

Passo 4

O próximo passo é calcular o determinante da matriz a & b c & d . O determinante de uma matriz det(T - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - (2)(1) = lambda^2 - 2 é dado por .
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 5

O polinômio característico de um operador linear é precisamente o determinante de p(lambda) = lambda^2 - 2 . Portanto, o polinômio característico de é:

Resposta

O polinômio característico de é .

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