Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M2(R) :
a) [lla & b c & d] rvert, b=a+c e d=c

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de matrizes 2x2 sobre os números reais, M2(R), e queremos determinar a dimensão e encontrar uma base para um subespaço vetorial específico desse conjunto. As matrizes desse subespaço satisfazem as condições b = a + c e d = c. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, dimensão e base.

Passo 2

Vamos começar analisando as condições dadas: b = a + c e d = c. Isso significa que, em qualquer matriz desse subespaço, o elemento da posição (1,2) é igual à soma do elemento (1,1) com o elemento (2,1), e o elemento (2,2) é igual ao elemento (2,1).
Então, uma matriz genérica desse subespaço pode ser escrita como:
a & a + c c & c
Aqui, a e c são os elementos livres que podemos escolher livremente.

Passo 3

Agora, identificamos que temos duas variáveis livres: a e c. Isso significa que podemos expressar qualquer matriz do subespaço como uma combinação linear dessas duas variáveis. A presença de duas variáveis livres indica que a dimensão do subespaço é 2, pois precisamos de duas direções independentes para gerar todo o subespaço.

Passo 4

Para encontrar uma base para o subespaço, precisamos encontrar matrizes que sejam linearmente independentes e que possam gerar qualquer matriz do subespaço através de combinações lineares. Vamos considerar os seguintes valores para as variáveis livres:
  1. Quando a = 1 e c = 0:

[
1 & 1 + 0 0 & 0 = 1 & 1 0 & 0

a = 0
]
  1. Quando c = 1 e 0 & 0 + 1 1 & 1 = 0 & 1 1 & 1 :

[


]
Essas duas matrizes são linearmente independentes e quaisquer outras matrizes do subespaço podem ser obtidas combinando-as.

Resposta

A dimensão do subespaço é 2 e uma base para ele é formada pelas matrizes
1 & 1 0 & 0
e
0 & 1 1 & 1

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