Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(x+y, x-y+2 z, 2 x+y-z)
Determine: Os autovalores de T.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos um operador linear T(x, y, z) = (x + y, x - y + 2z, 2x + y - z) definido por
O objetivo é determinar os autovalores de . Para isso, vamos precisar calcular os valores de que satisfazem a equação característica de . Isso envolve encontrar os valores para os quais o determinante da matriz é igual a zero, onde é a matriz associada a e é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz A = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 2 2 & 1 & -1 que representa o operador linear . Observando a definição de , podemos identificar os coeficientes de cada componente:

Passo 3

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 é a matriz identidade de ordem 3:
A - lambda I = 1 - lambda & 1 & 0 1 & -1 - lambda & 2 2 & 1 & -1 - lambda
Subtraindo da matriz , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = 1 - lambda & 1 & 0 1 & -1 - lambda & 2 2 & 1 & -1 - lambda
Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, expandimos o determinante:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det -1 - lambda & 2 1 & -1 - lambda - 1 cdot det 1 & 2 2 & -1 - lambda + 0 cdot (determinante)
Calculando os determinantes menores:
= (1 - lambda)[(-1 - lambda)^2 - 2 cdot 1] - 1[(1)(-1 - lambda) - 2 cdot 2]
Simplificando:
= (1 - lambda)(lambda^2 + 2lambda - 1) + 5 + lambda

Passo 5

Expandindo a expressão:
(1 - lambda)(lambda^2 + 2lambda - 1) = lambda^2 + 2lambda - 1 - lambda^3 - 2lambda^2 + lambda
= -lambda^3 - lambda^2 + 3lambda - 1
Adicionando os outros termos:
-lambda^3 - lambda^2 + 3lambda - 1 + 5 + lambda = -lambda^3 - lambda^2 + 4lambda + 4
Igualando a zero:
-lambda^3 - lambda^2 + 4lambda + 4 = 0
Multiplicando toda a equação por -1 para simplificar:
lambda^3 + lambda^2 - 4lambda - 4 = 0

Passo 6

Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
lambda^3 + lambda^2 - 4lambda - 4 = 0
Vamos testar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que as raízes podem ser (-1)^3 + (-1)^2 - 4(-1) - 4 = -1 + 1 + 4 - 4 = 0 .
Testando lambda^3 + lambda^2 - 4lambda - 4 = (lambda + 1)(lambda^2 - 4) :
lambda^2 = 4 Rightarrow lambda = 2 ou lambda = -2
Portanto, é uma raiz.
Agora, vamos fatorar da equação:
Resolvendo :

Resposta

Os autovalores de são , e .

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