Considere o operador linear
definido por
© Determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear
definido por:
Nosso objetivo aqui é determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de
. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra linear, como autovalores, multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica. Não se preocupa se esses termos parecem complicados, vou explicar cada um enquanto resolvemos!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Autovalores são valores de
que satisfazem a equação:
Aqui,
é a matriz identidade. Então, vamos montar a matriz
.
Passo 3
A matriz de
é:
Subtraindo
da diagonal principal, temos:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir isso:
Então:
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Agora que temos os autovalores
e
, vamos determinar suas multiplicidades algébrica e geométrica.
-
Multiplicidade Algébrica: É quantas vezes um autovalor aparece como raiz da equação característica. Aqui, cada autovalor
e aparecem uma vez, então cada um tem multiplicidade algébrica igual a 1. -
Multiplicidade Geométrica: É a dimensão do espaço dos autovetores associados a cada autovalor, ou seja, quantos vetores linearmente independentes satisfazem
.
Vamos verificar isso para cada autovalor.
Para
:
[
T - 4I =
]
Resolvendo
:
Então, os autovetores são da forma
, ou seja, qualquer múltiplo de
. Isso significa que há uma única direção para os autovetores, então a multiplicidade geométrica de
é 1.
Para
:
[
T - 1I =
]
Resolvendo
:
Então, os autovetores são da forma
, ou seja, qualquer múltiplo de
. Isso também indica uma única direção para os autovetores, então a multiplicidade geométrica de
é 1.
Resposta
Cada autovalor de
tem multiplicidade algébrica igual a 1 e multiplicidade geométrica igual a 1.