Verifique se cada operador linear abaixo é diagonalizável:
(e) T: M(2,2) M(2,2) tal que T(A)=A^T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o operador linear definido por é diagonalizável. Aqui, estamos trabalhando com matrizes 2x2 e o conceito de diagonalização, que é quando conseguimos representar o operador de uma forma bem simples usando uma matriz diagonal. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e espaços próprios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um operador é diagonalizável se ele tem uma base completa de autovetores. Isso significa que podemos encontrar autovalores e matrizes não nulas tais que . No nosso caso, temos , então queremos ver para quais matrizes vale .

Passo 3

Vamos descobrir os possíveis autovalores. Aplicando T(T(A)) = T(A^T) = (A^T)^T = A duas vezes, temos:
Então, , onde é o operador identidade. Isso significa que os autovalores de devem satisfazer a equação , ou seja, ou .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os espaços próprios para cada autovalor.
  • Para a & b b & d :
    Queremos 0 & c -c & 0 , ou seja, é uma matriz simétrica. Em , uma matriz simétrica tem a forma:
    Isso nos dá 3 graus de liberdade ( ), então o espaço próprio associado a tem dimensão 3.
  • Para :
    Queremos , ou seja, é uma matriz skew-simétrica (ou anti-simétrica). Em , uma matriz skew-simétrica tem a forma:
    Aqui, temos apenas 1 grau de liberdade ( ), então o espaço próprio associado a tem dimensão 1.

Passo 5

Agora, somando as dimensões dos espaços próprios:
3 , (para lambda = 1) + 1 , (para lambda = -1) = 4
Como o espaço tem dimensão 4, temos uma base completa de autovetores. Isso significa que o operador é diagonalizável.

Resposta

Sim, o operador linear é diagonalizável.

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