Verifique se cada operador linear abaixo é diagonalizável:
(e)
tal que
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o operador linear
definido por
é diagonalizável. Aqui, estamos trabalhando com matrizes 2x2 e o conceito de diagonalização, que é quando conseguimos representar o operador de uma forma bem simples usando uma matriz diagonal. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e espaços próprios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um operador é diagonalizável se ele tem uma base completa de autovetores. Isso significa que podemos encontrar autovalores
e matrizes não nulas
tais que
. No nosso caso, temos
, então queremos ver para quais matrizes
vale
.
Passo 3
Vamos descobrir os possíveis autovalores. Aplicando
duas vezes, temos:
Então,
, onde
é o operador identidade. Isso significa que os autovalores de
devem satisfazer a equação
, ou seja,
ou
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os espaços próprios para cada autovalor.
-
Para
:
Queremos, ou seja, é uma matriz simétrica. Em , uma matriz simétrica tem a forma: Isso nos dá 3 graus de liberdade (), então o espaço próprio associado a tem dimensão 3. -
Para
:
Queremos, ou seja, é uma matriz skew-simétrica (ou anti-simétrica). Em , uma matriz skew-simétrica tem a forma: Aqui, temos apenas 1 grau de liberdade (), então o espaço próprio associado a tem dimensão 1.
Passo 5
Agora, somando as dimensões dos espaços próprios:
Como o espaço
tem dimensão 4, temos uma base completa de autovetores. Isso significa que o operador
é diagonalizável.
Resposta
Sim, o operador linear
é diagonalizável.