Questão
Julgue os itens como verdadeiro ou falso e justifique a sua resposta.
Se
possui autovetores
e
associados aos autovalores
e
, respectivamente, então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear
com dois autovetores dados:
associado ao autovalor
e
associado ao autovalor
. O exercício nos pergunta se, aplicando
no vetor
, o resultado é
. Vamos descobrir se isso é verdadeiro ou falso!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Se
é um autovetor de
com autovalor
, então
. Isso significa que, ao aplicar
em
, o resultado é o próprio vetor
escalado por
.
Passo 3
Nosso próximo passo é verificar se o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos autovetores
e
. Em outras palavras, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 4
Vamos montar as equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
.
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos calcular
usando a linearidade de
:
Sabemos que
e .
e
Então:
Resposta
Falso. O resultado correto de
é
, não
.