Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(4 x-2 y+2 z, 6 x-3 y+4 z, 3 x-2 y+3 z)
(a) Encontre o polinômio minimal de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o polinômio minimal de um operador linear que transforma um vetor em . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, polinômios característicos e polinômio minimal. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T(x, y, z) = 4x - 2y + 2z 6x - 3y + 4z 3x - 2y + 3z por uma matriz. Para isso, observamos como cada componente de A = 4 & -2 & 2 6 & -3 & 4 3 & -2 & 3 depende de :
Então, a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico dessa matriz p(lambda) = det(A - lambda I) . O polinômio característico é dado por:
A - lambda I = 4 - lambda & -2 & 2 6 & -3 - lambda & 4 3 & -2 & 3 - lambda
onde p(lambda) = det 4 - lambda & -2 & 2 6 & -3 - lambda & 4 3 & -2 & 3 - lambda é a matriz identidade e é um escalar. Subtraindo da diagonal de :
Então, o determinante é:
Vamos calcular esse determinante.

Passo 4

Calculando o determinante:
p(lambda) = (4 - lambda) cdot det -3 - lambda & 4 -2 & 3 - lambda + 2 cdot det 6 & 4 3 & 3 - lambda + 2 cdot det 6 & -3 - lambda 3 & -2
Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. -3 - lambda & 4 -2 & 3 - lambda
  2. 6 & 4 3 & 3 - lambda
  3. 6 & -3 - lambda 3 & -2
Agora, substituindo de volta:
p(lambda) = (4 - lambda)(lambda^2 - 1) + 2(6 - 6lambda) + 2(-3 + 3lambda)
Simplificando:
p(lambda) = (4 - lambda)(lambda^2 - 1) + 12 - 12lambda - 6 + 6lambda
p(lambda) = (4lambda^2 - 4 - lambda^3 + lambda) + 6 - 6lambda
p(lambda) = -lambda^3 + 4lambda^2 + lambda - 4 + 6 - 6lambda
p(lambda) = -lambda^3 + 4lambda^2 - 5lambda + 2

Passo 5

Agora que temos o polinômio característico -1 + 4 - 5 + 2 = 0 , podemos encontrar o polinômio minimal. O polinômio minimal é o polinômio monico de menor grau que anula o operador -lambda^2 + 3lambda - 2 = -(lambda^2 - 3lambda + 2) = -(lambda - 1)(lambda - 2) , ou seja, p(lambda) = -(lambda - 1)^2 (lambda - 2) .
Primeiro, vamos fatorar m(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 2) . Vamos procurar raízes racionais possíveis usando o teorema das raízes racionais. As possíveis raízes são .
Testando :
Então, é uma raiz. Podemos fatorar como .
Agora, fatorando o polinômio quadrático:
Portanto, o polinômio característico fatorado é:
Para o polinômio minimal, observamos os fatores sem a multiplicidade. Assim, o polinômio minimal será:

Resposta

O polinômio minimal de é .

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