Considere alpha a base canônica de R^4 e T: R^4 R^4 o operador linear dado pela matriz
[T]alpha^alpha=[cccc 2 & -1 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & -1 0 & 0 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 3 ]
Encontre: O polinômio minimal de T e verifique se T é diagonalizável.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Estamos trabalhando com um operador linear no espaço , representado por uma matriz dada. Precisamos encontrar o polinômio minimal de e verificar se é diagonalizável. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como valores próprios, polinômios característicos e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Identificando os Valores Próprios
Primeiro, observamos que a matriz de lambda1 = 2, lambda2 = 2, lambda3 = 3, lambda4 = 3 é triangular superior, o que facilita a identificação dos valores próprios: eles são os elementos da diagonal principal. Assim, os valores próprios de são:
Cada valor próprio aparece duas vezes, indicando multiplicidades algébricas de 2 para cada.

Passo 3

Determinando o Polinômio Minimal
O polinômio minimal é o menor polinômio monico que anula a matriz [T]alpha^alpha = 2 & -1 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & -1 0 & 0 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 3 . Para encontrá-lo, precisamos identificar o tamanho máximo dos blocos de Jordan associados a cada valor próprio.
Observando a matriz:
mT(x) = (x - 2)^2 (x - 3)^2
Vemos que:
  • Para , a submatriz superior forma um bloco de Jordan de tamanho 2.
  • Para , a submatriz inferior também forma um bloco de Jordan de tamanho 2.
Portanto, o polinômio minimal é:

Passo 4

Verificando se mT(x) = (x - 2)^2 (x - 3)^2 é Diagonalizável
Uma matriz é diagonalizável se e somente se o polinômio minimal for um produto de fatores lineares distintos, ou seja, sem potências maiores que 1. No nosso caso:
Como cada fator está elevado ao quadrado, isso indica que existem blocos de Jordan de tamanho maior que 1. Além disso, podemos verificar as dimensões dos espaços próprios (ou seja, a quantidade de vetores próprios) para cada valor próprio.
Para :
Resolvendo , encontramos que o espaço próprio tem dimensão 1.
Para :
Resolvendo , também encontramos que o espaço próprio tem dimensão 1.
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é menor que a dimensão do espaço ( ), isso confirma que não é diagonalizável.

Resposta

O polinômio minimal de é e o operador não é diagonalizável.

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