Considere alpha a base canônica de R^2 e T: R^2 R^2 o operador linear dado pela matriz
[T]alpha^alpha=[cc 5 & -1 1 & 3 ]
Encontre: O polinômio característico de T e escreva todos os candidatos a polinômio minimal de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear representado por uma matriz específica em . O exercício pede para a gente encontrar o polinômio característico de e listar todos os possíveis polinômios mínimos de . Para isso, vamos precisar saber como calcular o polinômio característico e entender o que é o polinômio mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o polinômio característico. Esse polinômio é uma ferramenta que a gente usa para encontrar os valores próprios (ou autovalores) da matriz que representa o operador linear. Para calcular o polinômio característico, a gente usa a seguinte fórmula:
pT(lambda) = det([T] - lambda I)
Aqui, é a matriz do operador linear, é um número escalar, e é a matriz identidade da mesma dimensão que .

Passo 3

Vamos calcular o determinante [T] = 5 & -1 1 & 3 para a matriz dada:
[T] - lambda I = 5 - lambda & -1 1 & 3 - lambda
Subtraindo det([T] - lambda I) = (5 - lambda)(3 - lambda) - (-1)(1) = (5 - lambda)(3 - lambda) + 1 da diagonal principal, temos:
(5 - lambda)(3 - lambda) = 15 - 5lambda - 3lambda + lambda^2 = lambda^2 - 8lambda + 15
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
lambda^2 - 8lambda + 15 + 1 = lambda^2 - 8lambda + 16
Vamos expandir o produto:
pT(lambda) = lambda^2 - 8lambda + 16
Agora, somando o 1:
Então, o polinômio característico de é:

Passo 4

Agora, vamos falar sobre o polinômio mínimo. O polinômio mínimo de uma matriz é o polinômio monico de menor grau que anula a matriz, ou seja, quando você substitui a matriz no polinômio, o resultado é a matriz nula. Além disso, o polinômio mínimo divide o polinômio característico.
Para encontrar os candidatos ao polinômio mínimo, precisamos considerar os fatores do polinômio característico e verificar quais deles satisfazem as condições do polinômio mínimo.

Passo 5

Observando o polinômio característico que encontramos:
pT(lambda) = lambda^2 - 8lambda + 16
Podemos fatorar esse polinômio:
lambda^2 - 8lambda + 16 = (lambda - 4)^2
Isso significa que a matriz tem um único valor próprio, , com multiplicidade algébrica 2.
Os candidatos ao polinômio mínimo devem dividir o polinômio característico e ter os mesmos valores próprios. Portanto, os possíveis polinômios mínimos são:

Resposta

O polinômio característico de é . Os candidatos ao polinômio mínimo de são e .

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