Considere o operador posição x=x e o operador momento p=-i hbar dd x.
Calcule a ação de p sobre a mesma função de onda psi(x)=A e^-alpha2 x^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois operadores importantes na mecânica quântica: o operador posição x = x e o operador momento p = -i hbar ddx. A função de onda que vamos trabalhar é psi(x) = A e^-alpha2 x^2, onde A e alpha são constantes. Nosso objetivo aqui é calcular o resultado da aplicação do operador momento p sobre essa função de onda psi(x). Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre operadores na mecânica quântica e como eles atuam nas funções de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador na mecânica quântica. Basicamente, um operador é uma regra que associa uma função a outra. No nosso caso, o operador momento p age sobre a função psi(x) derivando-a em relação a x e multiplicando pelo fator -i hbar. Então, a ação do operador momento é dada por:
p psi(x) = -i hbar ddx psi(x)

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa regra à nossa função de onda específica psi(x) = A e^-alpha2 x^2. Primeiro, precisamos calcular a derivada de psi(x) em relação a x:
ddx psi(x) = ddx ( A e^-alpha2 x^2 )

Passo 4

Vamos calcular essa derivada passo a passo. A derivada de e^f(x) é e^f(x) cdot f'(x). No nosso caso, f(x) = -alpha2 x^2, então:
f'(x) = -alpha2 cdot 2x = -alpha x
Portanto,
ddx psi(x) = A e^-alpha2 x^2 cdot (-alpha x) = -A alpha x e^-alpha2 x^2

Passo 5

Agora, substituímos essa derivada na expressão do operador momento:
p psi(x) = -i hbar cdot ( -A alpha x e^-alpha2 x^2 )
Os sinais negativos se cancelam:
p psi(x) = i hbar A alpha x e^-alpha2 x^2

Resposta

A ação do operador momento p sobre a função de onda psi(x) é:
p psi(x) = i hbar A alpha x e^-alpha2 x^2

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