Considere uma partícula de massa m em um oscilador harmônico simples com frequência angular omega. A energia total do sistema é dada por:
E=12 m v^2+12 m omega^2 x^2
Determine x máx á em função da energia total E, m e omega.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa $ m $ que está oscilando em um movimento harmônico simples, tipo uma mola ou um pêndulo. A energia total desse sistema é dada pela soma da energia cinética ($ \frac{1}{2} m v^2 m á \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 12 m v^2 ééçãá x_{máx} $) que essa partícula alcança, em função da energia total $ E $, da massa $ m $ e da frequência angular $ \omega $.

Passo 2

Vamos começar entendendo que, no movimento harmônico simples, a energia total $ E $ é constante e se divide entre a energia cinética e a energia potencial. A posição máxima $ x_{máx} $ acontece quando a partícula para de se mover momentaneamente antes de mudar de direção. Nesse instante, a velocidade $ v $ é zero, então a energia cinética também é zero.

Passo 3

Com a velocidade $ v = 0 $ no ponto mais alto, a energia total $ E $ é igual apenas à energia potencial elástica. Então, podemos escrever:
v = 0 á

Passo 4

Agora, nosso objetivo é isolar $ x_{máx} $ nessa equação. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar o xmáx :
12á

Passo 5

Em seguida, dividimos ambos os lados por $ m \omega^2 $ para resolver para $ x_{máx}^2 $:
m omega^2 á

Passo 6

Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ x_{máx} $:
xmáx á

Resposta

A posição máxima é dada por:
xmáx = raiz2Em omega^2 á

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