Considere uma partícula de massa
em um oscilador harmônico simples com frequência angular
. A energia total do sistema é dada por:
Determine
em função da energia total
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa $ m $ que está oscilando em um movimento harmônico simples, tipo uma mola ou um pêndulo. A energia total desse sistema é dada pela soma da energia cinética ($ \frac{1}{2} m v^2
\frac{1}{2} m \omega^2 x^2
x_{máx} $) que essa partícula alcança, em função da energia total $ E $, da massa $ m $ e da frequência angular $ \omega $.
Passo 2
Vamos começar entendendo que, no movimento harmônico simples, a energia total $ E $ é constante e se divide entre a energia cinética e a energia potencial. A posição máxima $ x_{máx} $ acontece quando a partícula para de se mover momentaneamente antes de mudar de direção. Nesse instante, a velocidade $ v $ é zero, então a energia cinética também é zero.
Passo 3
Com a velocidade $ v = 0 $ no ponto mais alto, a energia total $ E $ é igual apenas à energia potencial elástica. Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, nosso objetivo é isolar $ x_{máx} $ nessa equação. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar o
:
Passo 5
Em seguida, dividimos ambos os lados por $ m \omega^2 $ para resolver para $ x_{máx}^2 $:
Passo 6
Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ x_{máx} $:
Resposta
A posição máxima é dada por: