Considere o operador de spin do elétron na direção y dado por S_{y}=\frac{\hbar}{2}\left(\begin{array}{cc}0 & -i \\\ i & 0\end{array}\right). Quais são as possíveis medidas para o spin na direção y ?
Passo 1
O enunciado fornece o operador de spin do elétron na direção y
S_{y}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0 & -i \\[4pt] i & 0\end{pmatrix}
e pergunta quais são as possíveis medidas (valores que podem ser obtidos ao medir o spin na direção y).
Informações relevantes dadas: a matriz explícita de S_{y}.
Pergunta: listar os possíveis resultados de uma medida de spin na direção y.]
Passo 2
Por que os autovalores importam para medições? Breve explicação didática: na mecânica quântica uma grandeza observável é representada por um operador Hermitiano. As únicas saídas possíveis de uma medida dessa grandeza são os autovalores (eigenvalues) do operador. Então, para saber os possíveis resultados da medida do spin em y precisamos encontrar os autovalores de S_{y}. Também é importante verificar que S_{y} é Hermitiano (autovalores reais), o que garante resultados físicos reais.
Passo 3
Mostro que S_{y} é Hermitiano (ou seja, igual ao seu conjugado transposto). A matriz interna é
M=\begin{pmatrix}0 & -i \\[4pt] i & 0\end{pmatrix}.
O conjugado complexo é
M^{*}=\begin{pmatrix}0 & i \\[4pt] -i & 0\end{pmatrix}
e o conjugado transposto (adjunto) é
M^{\dagger}=(M^{*})^{T}=\begin{pmatrix}0 & -i \\[4pt] i & 0\end{pmatrix}=M.
Portanto M^\dagger=M e, como S_y=(\hbar/2)M com \hbar/2 real, segue que
S_{y}^{\dagger}=S_{y},
ou seja, S_{y} é Hermitiano e seus autovalores serão reais.]
Passo 4
Agora calculamos os autovalores resolvendo o polinômio característico \det(S_{y}-\lambda I)=0. Escrevendo explicitamente,
Interpretação física didática: os possíveis resultados de uma medida do spin do elétron na direção y são exatamente os autovalores que encontramos, isto é, \lambda=+\hbar/2 e \lambda=-\hbar/2. Em linguagem física usual dizemos que o spin na direção y pode ser observado como “spin up” (+\hbar/2) ou “spin down” (-\hbar/2) ao longo do eixo y. Se quiser, posso também mostrar os autovetores normalizados correspondentes a cada autovalor (os estados próprios de S_y).