Considere a matriz S_{z}=\frac{\hbar}{2}\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{array}\right). Encontre:
(a) Os autovalores de S_{z}.
(b) Os autovetores de S_{z}.
e pede duas coisas:
(a) os autovalores de S_{z};
(b) os autovetores de S_{z}.
Informações relevantes do enunciado: \hbar é uma constante (o constante de Planck reduzida) e aparece como fator escalar.
A matriz é 2\times2 e diagonal (os elementos fora da diagonal são zero).
As perguntas são: achar os valores escalares \lambda tais que exista vetor não-nulo v com S_{z}v=\lambda v (autovalores) e achar os vetores v correspondentes (autovetores).]
Passo 2
O que significa encontrar autovalores e autovetores:
Um autovalor \lambda e um autovetor v\neq 0 satisfazem
S_{z}v=\lambda v.
Para achar \lambda resolvemos a equação característica
\det\!\big(S_{z}-\lambda I\big)=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Esta determinante dá um polinômio em \lambda (o polinômio característico). Vou calcular esse determinante passo a passo.
Se v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, a equação (S_{z}-\lambda_{1} I)v=0 dá o sistema
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y = 0,\\[4pt] 0\cdot x -\hbar\, y = 0. \end{cases}
Da segunda equação obtemos -\hbar\, y=0\Rightarrow y=0\]. A primeira equação é 0=0 (sempre satisfeita). Logo qualquer vetor da forma
\[v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] 0\end{pmatrix},\]
com \(x\neq 0, é autovetor associado a \lambda_{1}.]
Passo 7
Normalização e escolha prática do autovetor para \lambda_{1}:
Em muitas aplicações escolhemos um autovetor normalizado (comprimento 1). O comprimento (norma euclidiana) de \begin{pmatrix}x\\[4pt]0\end{pmatrix} é \sqrt{|x|^2}=|x|. Tomando x=1 obtemos o autovetor normalizado
\chi_{+}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Verificação rápida: S_{z}\chi_{+}=(\hbar/2)\chi_{+}, como esperado.]
Para v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} a equação (S_{z}-\lambda_{2}I)v=0 dá
\begin{cases} \hbar\, x = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y = 0. \end{cases}
Da primeira equação temos x=0\]. A segunda é 0=0. Logo qualquer vetor da forma
\[v=\begin{pmatrix}0\\[4pt] y\end{pmatrix},\]
com \(y\neq 0, é autovetor associado a \lambda_{2}.]
Passo 9
Normalização e escolha prática do autovetor para \lambda_{2}:
Tomando y=1 obtemos o autovetor normalizado
\chi_{-}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Verificação: S_{z}\chi_{-}=-(\hbar/2)\chi_{-}, como esperado.
Observações finais rápidas (úteis na prova): os dois autovetores escolhidos \chi_{+} e \chi_{-} são ortogonais entre si (produto interno é zero) e ambos normalizados; isso é típico quando temos matriz hermitiana/real simétrica diagonal.]
Resposta
\lambda=\dfrac{\hbar}{2} e \lambda=-\dfrac{\hbar}{2}
\chi_{+}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} e \chi_{-}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}]