Um determinado pulso de onda transversal que viaja ao longo de uma corda é descrito pela equação de onda dependente do tempo
, com número de onda
e frequência angular
. Mostre que a função dada acima satisfaz a equação de onda.
Passo 1
O enunciado fornece uma pulsação transverse descrita pela função (houve uma pequena lacuna no enunciado, vou assumir a forma plausível que se usa para pulso gaussiano viajante):
com
e
.
O que nos pedem: mostrar que essa função satisfaz a equação de onda (ou seja, existe uma velocidade tal que)
O que nos pedem: mostrar que essa função satisfaz a equação de onda (ou seja, existe uma velocidade
Passo 2
Estratégia: calcular explicitamente as derivadas parciais de segunda ordem
e
e comparar. Para simplificar as contas usamos a substituição
Explicando a ideia (regra da cadeia):
. Quando derivamos
em relação a
ou
, usamos que a derivada de
em relação a
é
e depois multiplicamos por
ou
. Vou fazer cada passo devagar, sem pular etapas.
Passo 3
Derivada parcial de primeira ordem em
.
Primeiro calculemos
:
Usando a regra da cadeia:
Como
, podemos escrever de forma mais compacta:
Passo 4
Derivada parcial de segunda ordem em
.
Derivamos
em relação a
. Aplicamos a regra do produto (derivar
e derivar
):
Substituindo
e
,
Fatorando:
Portanto
Passo 5
Derivada parcial de primeira ordem em
.
Primeiro calculemos
:
Aplicando a regra da cadeia:
Então
Passo 6
Derivada parcial de segunda ordem em
.
Derivamos
em relação a
. Pela regra do produto:
Substituindo
e
,
Assim
Passo 7
Comparando as duas segundas derivadas.
Das expressões obtidas:
Como os fatores
são os mesmos, temos imediatamente a relação
Isso pode ser reescrito na forma clássica da equação de onda
onde a velocidade de propagação é
Usando os valores numéricos dados
e
,
Concluímos que a função dada satisfaz a equação de onda com velocidade
.
Resposta
A função satisfaz a equação de onda
com
.