Um determinado pulso de onda transversal que viaja ao longo de uma corda é descrito pela equação de onda dependente do tempo f(x, t)=A e^{-(\kappa x-\quad)^{2}}, com número de onda \kappa=2 \pi \mathrm{m}^{-1} e frequência angular \omega=2 \pi \mathrm{~s}^{-1}. Mostre que a função dada acima satisfaz a equação de onda.

Passo 1

O enunciado fornece uma pulsação transverse descrita pela função (houve uma pequena lacuna no enunciado, vou assumir a forma plausível que se usa para pulso gaussiano viajante):
f(x,t)=A e^{-(\kappa x - \omega t)^{2}},
com \kappa=2\pi\\ \mathrm{m}^{-1} e \omega=2\pi\\ \mathrm{s}^{-1}.
O que nos pedem: mostrar que essa função satisfaz a equação de onda (ou seja, existe uma velocidade v tal que)
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}.

Passo 2

Estratégia: calcular explicitamente as derivadas parciais de segunda ordem \partial_{x}^{2}f e \partial_{t}^{2}f e comparar. Para simplificar as contas usamos a substituição
u=\kappa x - \omega t.
Explicando a ideia (regra da cadeia): f(x,t)=A e^{-u^{2}}. Quando derivamos f em relação a x ou t, usamos que a derivada de e^{-u^{2}} em relação a u é -2u e^{-u^{2}} e depois multiplicamos por \partial u/\partial x ou \partial u/\partial t. Vou fazer cada passo devagar, sem pular etapas.

Passo 3

Derivada parcial de primeira ordem em x.
Primeiro calculemos \partial u/\partial x:
\frac{\partial u}{\partial x}=\kappa.
Usando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=A\cdot\frac{d}{du}\big(e^{-u^{2}}\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} = A\cdot(-2u e^{-u^{2}})\cdot\kappa.
Como A e^{-u^{2}}=f, podemos escrever de forma mais compacta:
\boxed{\frac{\partial f}{\partial x}=-2\kappa u\, f.}

Passo 4

Derivada parcial de segunda ordem em x.
Derivamos \partial f/\partial x=-2\kappa u f em relação a x. Aplicamos a regra do produto (derivar u e derivar f):
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-2\kappa\left(\frac{\partial u}{\partial x}\,f + u\,\frac{\partial f}{\partial x}\right).
Substituindo \partial u/\partial x=\kappa e \partial f/\partial x=-2\kappa u f,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-2\kappa\big(\kappa f + u(-2\kappa u f)\big) =-2\kappa(\kappa f -2\kappa u^{2}f).
Fatorando:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-2\kappa^{2}f +4\kappa^{2}u^{2}f =2\kappa^{2}(2u^{2}-1)f.
Portanto
\boxed{\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2\kappa^{2}(2u^{2}-1)f.}

Passo 5

Derivada parcial de primeira ordem em t.
Primeiro calculemos \partial u/\partial t:
\frac{\partial u}{\partial t}=-\omega.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial t}=A\cdot(-2u e^{-u^{2}})\cdot\frac{\partial u}{\partial t} = A\cdot(-2u e^{-u^{2}})\cdot(-\omega) =2\omega u f.
Então
\boxed{\frac{\partial f}{\partial t}=2\omega u\, f.}

Passo 6

Derivada parcial de segunda ordem em t.
Derivamos \partial f/\partial t=2\omega u f em relação a t. Pela regra do produto:
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}=2\omega\left(\frac{\partial u}{\partial t}\,f + u\,\frac{\partial f}{\partial t}\right).
Substituindo \partial u/\partial t=-\omega e \partial f/\partial t=2\omega u f,
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}=2\omega\big(-\omega f + u(2\omega u f)\big) = -2\omega^{2}f +4\omega^{2}u^{2}f =2\omega^{2}(2u^{2}-1)f.
Assim
\boxed{\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}=2\omega^{2}(2u^{2}-1)f.}

Passo 7

Comparando as duas segundas derivadas.
Das expressões obtidas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2\kappa^{2}(2u^{2}-1)f, \qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}=2\omega^{2}(2u^{2}-1)f.
Como os fatores 2(2u^{2}-1)f são os mesmos, temos imediatamente a relação
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\kappa^{2}}{\omega^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}.
Isso pode ser reescrito na forma clássica da equação de onda
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}},
onde a velocidade de propagação é
v=\frac{\omega}{\kappa}.
Usando os valores numéricos dados \kappa=2\pi\\ \mathrm{m}^{-1} e \omega=2\pi\\ \mathrm{s}^{-1},
v=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\ \mathrm{m/s}.
Concluímos que a função dada satisfaz a equação de onda com velocidade v=1\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A função satisfaz a equação de onda \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} com v=\dfrac{\omega}{\kappa}=1\\ \mathrm{m/s}.

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