1. Considere i_{1}(t)=2 \operatorname{sen}\left(w t+120^{\circ}\right) e i_{2}(t)=4 \operatorname{sen}\left(w t-20^{\circ}\right), o somatório das senoides \left(i_{1}+i_{2}\right) é:
    ◯ A. 4,14 \angle 48,3^{\circ} \mathrm{A}.
    ◯ B. 2,78 \angle-7,51^{\circ} \mathrm{A}.
    ◯ C. 5,67 \angle-146,9^{\circ} \mathrm{A}.
    ◯ D. 4,14 \angle-48,3^{\circ} \mathrm{A}.
    ◯ E. 2,78<7,51^{\circ} \mathrm{A}.

Passo 1

O enunciado dá duas senoides de mesma frequência e pede o somatório i_{1}(t)+i_{2}(t). Dados fornecidos:
  • i_{1}(t)=2\\ \operatorname{sen}\!\bigl(\omega t+120^\circ\bigr).
  • i_{2}(t)=4\\ \operatorname{sen}\!\bigl(\omega t-20^\circ\bigr).
O que se pede:
  • Determinar a senoide resultante (amplitude e fase) do somatório i_{1}(t)+i_{2}(t), expressa em forma fasorial (módulo e ângulo), para comparar com as alternativas.

Passo 2

Ideia chave (explicação didática): quando duas senoides têm a mesma frequência, elas podem ser somadas como vetores (phasors). Cada senoide A\sin(\omega t+\varphi) corresponde a um fasor complexo de amplitude A e ângulo \varphi. Em representação complexa:
A\angle\varphi = A\bigl(\cos\varphi + j\sin\varphi\bigr).
Aqui não é preciso converter \sin para \cos porque ambas as ondas estão em forma \sin(\cdot) e têm a mesma referência; basta somar os fasores correspondentes (componentes reais e imaginárias).

Passo 3

Convertemos cada senoide para sua forma complexa (retangular). Para i_{1}:
\text{Fasor de }i_{1} = 2\angle120^\circ = 2\bigl(\cos120^\circ + j\sin120^\circ\bigr).
Usando valores trigonométricos:
\cos120^\circ = -\tfrac{1}{2},\qquad \sin120^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,8660254.
Portanto as componentes de i_{1} são
\Re\{2\angle120^\circ\}=2\cdot(-\tfrac{1}{2})=-1, \qquad \Im\{2\angle120^\circ\}=2\cdot0,8660254=1,7320508.

Passo 4

Para i_{2}:
\text{Fasor de }i_{2} = 4\angle(-20^\circ) = 4\bigl(\cos(-20^\circ)+j\sin(-20^\circ)\bigr).
Usando valores numéricos:
\cos(-20^\circ)=\cos20^\circ\approx0,9396926,\qquad \sin(-20^\circ)=-\sin20^\circ\approx-0,3420201.
Logo as componentes de i_{2} são
\Re\{4\angle(-20^\circ)\}=4\cdot0,9396926=3,7587704, \qquad \Im\{4\angle(-20^\circ)\}=4\cdot(-0,3420201)=-1,3680804.

Passo 5

Somamos as componentes reais e imaginárias obtidas:
\Re\{\text{soma}\} = -1 + 3,7587704 = 2,7587704,
\Im\{\text{soma}\} = 1,7320508 + (-1,3680804) = 0,3639704.
Portanto o fasor resultante em forma retangular é
2,7587704 + j\,0,3639704.

Passo 6

Calculamos o módulo (amplitude) do fasor resultante. Fórmula do módulo de um número complexo x+jy:
\lvert x+jy\rvert = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aplicando:
\lvert\text{soma}\rvert=\sqrt{(2,7587704)^{2}+(0,3639704)^{2}}.
Calculos intermediários:
(2,7587704)^{2}\approx7,6108146,\qquad (0,3639704)^{2}\approx0,1324721,
\Rightarrow \lvert\text{soma}\rvert \approx \sqrt{7,7432867}\approx2,78198\approx2,78.

Passo 7

Calculamos a fase (ângulo) do fasor resultante. Fórmula:
\theta=\operatorname{atan2}\bigl(\Im,\Re\bigr)=\arctan\!\left(\dfrac{\Im}{\Re}\right),
quando \Re>0 (aqui \Re=2,7587704>0, então é seguro usar a arctan simples). Assim:
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{0,3639704}{2,7587704}\right)=\arctan(0,131969)\approx7,51^\circ.
O sinal é positivo porque a parte imaginária é positiva.

Passo 8

Portanto o fasor resultante (módulo e ângulo) é aproximadamente
2,78\angle7,51^\circ\\ \mathrm{A}.
Comparando com as alternativas dadas, a que corresponde a esse valor é a alternativa E (que apresenta 2,78 com ângulo 7,51^\circ).

Resposta

E. 2,78\angle7,51^\circ\\ \mathrm{A}

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