1. Levando em consideraçăo os números complexos e fasores, pode-se afirmar que:
    ◯ A. 6+8 i=3,6 \angle 30^{\circ}.
    ◯ B. Fasores só podem ser representados na forma polar.
    ◯ C. Pode-se considerar um fasor como um número complexo que representa a fase de uma cossenóide.
    ◯ D. 10 \angle 30^{\circ}=8,66+\mathrm{j} 5.
    ◯ E. A análise fasorial somente se aplica a sinais senoidais e de frequência diferentes.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmativas (A a E) sobre números complexos e fasores e pede que se avalie quais são verdadeiras ou falsas. As afirmações são:
  • A. 6+8\,i=3,6 \angle 30^{\circ}.
  • B. Fasores só podem ser representados na forma polar.
  • C. Pode-se considerar um fasor como um número complexo que representa a fase de uma cossenóide.
  • D. 10 \angle 30^{\circ}=8,66+\mathrm{j}\,5.
  • E. A análise fasorial somente se aplica a sinais senoidais e de frequência diferentes.
Informações numéricas dadas no enunciado que usaremos:
  • O número complexo 6+8\,i.
  • Os fasores 3,6\angle30^\circ e 10\angle30^\circ.
  • O número complexo 8,66+\mathrm{j}\,5.
O que é pedido: decidir, para cada alternativa, se a afirmação é verdadeira ou falsa, e justificar (mostrar cálculos e conceitos usados).

Passo 2

Relembrando fórmulas essenciais (apenas as fórmulas; explicarei cada termo em seguida):
\text{Se } z=a+\mathrm{j}b,\quad \text{então } r= \sqrt{a^{2}+b^{2}},\quad \theta=\operatorname{atan2}(b,a)ã
\text{Conexão retangular-polar: } z=a+\mathrm{j}b = r\angle\theta = r(\cos\theta+\mathrm{j}\sin\theta)=r e^{\mathrm{j}\theta}ã
Explicando cada símbolo de forma bem simples:
  • a é a parte real de z.
  • b é a parte imaginária de z.
  • r é o módulo (ou magnitude) de z: a distância do ponto (a,b) à origem no plano complexo.
  • \theta é o argumento (ou ângulo) de z: o ângulo medido a partir do eixo real positivo até o vetor que representa z.
  • \operatorname{atan2}(b,a) é a função arco-tangente que dá a direção correta considerando o quadrante (mais segura que \arctan(b/a) simples).
Observações conceituais rápidas e essenciais:
  • Um fasor é um número complexo que representa a amplitude complexa (módulo e fase) de uma cossenóide em regime permanente. Ou seja, o fasor guarda informação da amplitude e da fase relativos a uma referencia; não representa somente a fase.
  • Em engenharia elétrica usa-se comumente \mathrm{j} como unidade imaginária (equivalente ao i da matemática): \mathrm{j}=\sqrt{-1}.

Passo 3

Avaliação da alternativa A: verificar se 6+8\,i equivale a 3,6\angle30^\circ.
Calculemos o módulo e o ângulo de 6+8\,\mathrm{i}.
r=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.
\theta=\operatorname{atan2}(8,6)=\arctan\!\left(\frac{8}{6}\right)=\arctan\!\left(\frac{4}{3}\right)\approx 53{,}1301024^\circ.
Portanto
6+8\,\mathrm{i}=10\angle 53{,}13^\circ
e não 3,6\angle30^\circ. Conclusão: a alternativa A é falsa.

Passo 4

Explicação didática sobre porque o passo anterior é suficiente: quando se converte de retangular para polar, o módulo mede a força (amplitude) e o ângulo mede a fase. Se alguém afirma que 6+8\,\mathrm{i}=3,6\angle30^\circ, isso implicitamente diz que o módulo seria 3,6 (muito menor que 10) e o ângulo 30^\circ (diferente de 53{,}13^\circ). Logo não coincidem — por isso A está errada. Atenção prática para provas: sempre calcule r com a raiz quadrada e \theta com \operatorname{atan2} (ou pense no quadrante) para evitar erros de sinal.

Passo 5

Avaliação da alternativa D: verificar se 10\angle30^\circ é igual a 8,66+\mathrm{j}\,5.
Converter de polar (módulo e ângulo) para retangular usa as funções seno e cosseno:
\text{Parte real} = r\cos\theta,\qquad \text{Parte imaginária} = r\sin\theta.á
Aqui r=10 e \theta=30^\circ. Calculando:
\text{Parte real} = 10\cos30^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\approx 8{,}6602540\ldots
\text{Parte imaginária} = 10\sin30^\circ = 10\cdot\frac{1}{2}=5.á
Portanto
10\angle30^\circ \approx 8{,}660254+\mathrm{j}\,5,
que costuma ser arredondado para 8{,}66+\mathrm{j}\,5. Conclusão: a alternativa D é verdadeira.

Passo 6

Avaliação da alternativa B: “Fasores só podem ser representados na forma polar.”
Comentário didático: um fasor é, matematicamente, um número complexo. Números complexos têm duas representações equivalentes:
  • forma retangular: a+\mathrm{j}b,
  • forma polar: r\angle\theta (ou r e^{\mathrm{j}\theta}).
Ambas descrevem exatamente a mesma coisa; a escolha é de conveniência. Portanto afirmar que fasores só podem ser representados na forma polar está incorreto — eles podem e são frequentemente representados na forma retangular também (por exemplo, para somar fasores é mais simples em retangular). Conclusão: a alternativa B é falsa.

Passo 7

Avaliação da alternativa C: “Pode-se considerar um fasor como um número complexo que representa a fase de uma cossenóide.”
Explicação didática: atenção ao detalhe da frase — um fasor não representa só a fase; ele representa a amplitude complexa da cossenóide, ou seja, contém informação da amplitude (módulo) e da fase (argumento). Exemplo concreto: 10\angle30^\circ diz que a cossenóide tem amplitude 10 e fase 30^\circ; não diz só a fase. Portanto a afirmação “representa a fase” (somente) é imprecisa/errada. Conclusão: a alternativa C é falsa.

Passo 8

Avaliação da alternativa E: “A análise fasorial somente se aplica a sinais senoidais e de frequência diferentes.”
Primeiro, a parte verdadeira: a análise fasorial aplica-se a sinais senoidais em regime permanente (senoides). Agora a segunda parte da afirmação — “e de frequência diferentes” — está incorreta. O método fasorial exige que todas as senoides envolvidas tenham a mesma frequência para que possam ser representadas por fasores constantes no tempo (mesma \omega). Se há sinais de frequências diferentes, não se pode representá-los por um único conjunto de fasores estacionários; nesse caso é necessário tratar cada frequência separadamente (ex.: usando análise em frequência, séries de Fourier ou análise no domínio do tempo). Logo a frase do enunciado está equivocada: o correto seria “mesma frequência” e não “frequência diferentes”. Conclusão: a alternativa E é falsa.

Passo 9

Resumo final das verificações:
  • A é falsa (cálculo mostrou 6+8\mathrm{i}=10\angle53{,}13^\circ, não 3,6\angle30^\circ).
  • B é falsa (fasores podem ser representados em forma retangular ou polar).
  • C é falsa (fasor representa amplitude e fase, não apenas a fase).
  • D é verdadeira (conversão mostrou 10\angle30^\circ\approx 8{,}66+\mathrm{j}\,5).
  • E é falsa (análise fasorial exige sinais senoidais da mesma frequência, não de frequências diferentes).

Resposta

D

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