- Levando em consideraçăo os números complexos e fasores, pode-se afirmar que:
◯ A.
.
◯ B. Fasores só podem ser representados na forma polar.
◯ C. Pode-se considerar um fasor como um número complexo que representa a fase de uma cossenóide.
◯ D.
.
◯ E. A análise fasorial somente se aplica a sinais senoidais e de frequência diferentes.
◯ A.
◯ B. Fasores só podem ser representados na forma polar.
◯ C. Pode-se considerar um fasor como um número complexo que representa a fase de uma cossenóide.
◯ D.
◯ E. A análise fasorial somente se aplica a sinais senoidais e de frequência diferentes.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmativas (A a E) sobre números complexos e fasores e pede que se avalie quais são verdadeiras ou falsas. As afirmações são:
- A.
. - B. Fasores só podem ser representados na forma polar.
- C. Pode-se considerar um fasor como um número complexo que representa a fase de uma cossenóide.
- D.
. - E. A análise fasorial somente se aplica a sinais senoidais e de frequência diferentes.
Informações numéricas dadas no enunciado que usaremos:
- O número complexo
. - Os fasores
e . - O número complexo
.
O que é pedido: decidir, para cada alternativa, se a afirmação é verdadeira ou falsa, e justificar (mostrar cálculos e conceitos usados).
Passo 2
Relembrando fórmulas essenciais (apenas as fórmulas; explicarei cada termo em seguida):
Explicando cada símbolo de forma bem simples:
-
é a parte real de . -
é a parte imaginária de . -
é o módulo (ou magnitude) de : a distância do ponto à origem no plano complexo. -
é o argumento (ou ângulo) de : o ângulo medido a partir do eixo real positivo até o vetor que representa . -
é a função arco-tangente que dá a direção correta considerando o quadrante (mais segura que simples).
Observações conceituais rápidas e essenciais:
- Um fasor é um número complexo que representa a amplitude complexa (módulo e fase) de uma cossenóide em regime permanente. Ou seja, o fasor guarda informação da amplitude e da fase relativos a uma referencia; não representa somente a fase.
- Em engenharia elétrica usa-se comumente
como unidade imaginária (equivalente ao da matemática): .
Passo 3
Avaliação da alternativa A: verificar se
equivale a
.
Calculemos o módulo e o ângulo de
.
Portanto
e não
. Conclusão: a alternativa A é falsa.
Passo 4
Explicação didática sobre porque o passo anterior é suficiente: quando se converte de retangular para polar, o módulo mede a força (amplitude) e o ângulo mede a fase. Se alguém afirma que
, isso implicitamente diz que o módulo seria
(muito menor que
) e o ângulo
(diferente de
). Logo não coincidem — por isso A está errada. Atenção prática para provas: sempre calcule
com a raiz quadrada e
com
(ou pense no quadrante) para evitar erros de sinal.
Passo 5
Avaliação da alternativa D: verificar se
é igual a
.
Converter de polar (módulo e ângulo) para retangular usa as funções seno e cosseno:
Aqui
e
. Calculando:
Portanto
que costuma ser arredondado para
. Conclusão: a alternativa D é verdadeira.
Passo 6
Avaliação da alternativa B: “Fasores só podem ser representados na forma polar.”
Comentário didático: um fasor é, matematicamente, um número complexo. Números complexos têm duas representações equivalentes:
- forma retangular:
, - forma polar:
(ou ).
Ambas descrevem exatamente a mesma coisa; a escolha é de conveniência. Portanto afirmar que fasores só podem ser representados na forma polar está incorreto — eles podem e são frequentemente representados na forma retangular também (por exemplo, para somar fasores é mais simples em retangular). Conclusão: a alternativa B é falsa.
Passo 7
Avaliação da alternativa C: “Pode-se considerar um fasor como um número complexo que representa a fase de uma cossenóide.”
Explicação didática: atenção ao detalhe da frase — um fasor não representa só a fase; ele representa a amplitude complexa da cossenóide, ou seja, contém informação da amplitude (módulo) e da fase (argumento). Exemplo concreto:
diz que a cossenóide tem amplitude
e fase
; não diz só a fase. Portanto a afirmação “representa a fase” (somente) é imprecisa/errada. Conclusão: a alternativa C é falsa.
Passo 8
Avaliação da alternativa E: “A análise fasorial somente se aplica a sinais senoidais e de frequência diferentes.”
Primeiro, a parte verdadeira: a análise fasorial aplica-se a sinais senoidais em regime permanente (senoides). Agora a segunda parte da afirmação — “e de frequência diferentes” — está incorreta. O método fasorial exige que todas as senoides envolvidas tenham a mesma frequência para que possam ser representadas por fasores constantes no tempo (mesma
). Se há sinais de frequências diferentes, não se pode representá-los por um único conjunto de fasores estacionários; nesse caso é necessário tratar cada frequência separadamente (ex.: usando análise em frequência, séries de Fourier ou análise no domínio do tempo). Logo a frase do enunciado está equivocada: o correto seria “mesma frequência” e não “frequência diferentes”. Conclusão: a alternativa E é falsa.
Passo 9
Resumo final das verificações:
- A é falsa (cálculo mostrou
, não ). - B é falsa (fasores podem ser representados em forma retangular ou polar).
- C é falsa (fasor representa amplitude e fase, não apenas a fase).
- D é verdadeira (conversão mostrou
). - E é falsa (análise fasorial exige sinais senoidais da mesma frequência, não de frequências diferentes).
Resposta
D