Considere um oscilador amortecido, cuja constante de amortecimento é b=70 g / s, composto por um corpo de massa 500 g e uma mola de constante elástica k=100 N / m. Determine:
a) O periodo deste movimento.
b) O tempo necessário para que a amplitude das oscilações amortecidas se reduza a um quinto da amplitude inicial.

Passo 1

Beleza, temos um oscilador amortecido com constante de amortecimento b=70 g/s, massa m=500 g e mola de constante k=100 N/m.
Matéria: Oscilações amortecidas na mecânica, cuja equação é
mddot x + bdot x + kx = 0
Pra resolver a) o período do movimento e b) o tempo pra amplitude cair a um quinto, vamos precisar de:
  1. Converter as unidades (g→kg).
  2. Calcular a frequência natural omega0 e o coeficiente de amortecimento gamma.
  3. Verificar que é regime subamortecido e achar a frequência amortecida omegad.
  4. A partir de omegad achar o período T.
  5. Usar a lei de decaimento A(t)=A0e^-gamma t pra achar o tempo pedido.

Passo 2

Primeiro converte:
m = 500 g = 0,5 kg, b = 70 g/s = 0,07 kg/s
A frequência natural é
omega0 = raizkm = raiz1000,5 = raiz200 approx 14,14 rad/s
O coeficiente de amortecimento é
gamma = b2m = 0,072cdot0,5 = 0,07 s^-1
Como gamma^2approx0,0049llomega0^2=200, estamos em regime subamortecido.

Passo 3

No regime subamortecido a frequência efetiva é
omegad = raizomega0^2 - gamma^2 = raiz200 - 0,0049 approx 14,14 rad/s
O período T é
T = 2piomegad approx 2pi14,14 approx 0,444 s

Passo 4

A amplitude decai segundo
A(t) = A0,e^-gamma t
Queremos A(t)=A0/5, então
e^-gamma t = 15 Longrightarrow -gamma t = ln!tfrac15 = -ln5 Longrightarrow t = ln5gamma
Como ln5approx1,609 e gamma=0,07,
t approx 1,6090,07 approx 22,99 s

Resposta

a) Tapprox0,44 s
b) tapprox23,0 s

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