Considere um pêndulo físico formado por um disco de raio R=15 cm e massa 100 g , distribuída uniformemente, que oscila harmonicamente em torno de um eixo horizontal e perpendicular ao disco. O eixo passa por um ponto a 5 cm da sua borda. Sendo a aceleração da gravidade igual a 10 m / s^2, determine a frequência dessa oscilação.

Passo 1

Beleza, resumindo: a gente tem um disco de raio R=15 cm e massa m=100 g que oscila como um pêndulo físico. O eixo de oscilação é horizontal, perpendicular ao plano do disco, e fica a 5 cm da borda. Então o conteúdo aqui é pêndulo físico, momento de inércia e teorema dos eixos paralelos – além da ideia de pequenas oscilações. Vamos precisar da fórmula de I para o disco no centro, do teorema dos eixos paralelos, da torque gravitacional para ângulos pequenos e da relação entre omega e a frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a distância d entre o centro de massa do disco e o eixo de rotação. Como o eixo está a 5 cm da borda,
d = R - 5,cm = 15,cm - 5,cm = 10,cm = 0,10,m
Esse d é o “braço de alavanca” que a gravidade vai usar para gerar torque.

Passo 3

Agora o momento de inércia do disco em torno de um eixo perpendicular ao seu plano e passando pelo centro é
Irm cm = tfrac12,m,R^2
Mas o eixo está deslocado de d, então aplicamos o teorema dos eixos paralelos:
I = Irm cm + m,d^2 = tfrac12,m,R^2 + m,d^2

Passo 4

Substituindo m=0,1,kg, R=0,15,m e d=0,10,m:
Irm cm = tfrac12cdot0,1cdot(0,15)^2 = 0,001125;kg,m^2, m,d^2 = 0,1cdot(0,10)^2 = 0,001;kg,m^2,
I = 0,001125 + 0,001 = 0,002125;kg,m^2

Passo 5

Para pequenas oscilações, o torque é tau = -m,g,d,theta e a equação de movimento dá
I,theta'' + m,g,d,theta = 0 Longrightarrow omega^2 = m,g,dI
Com g=10,m/s^2:
omega = raiz0,1;times10;times0,100,002125 = raiz0,10,002125 approx 6,86;rad/s

Passo 6

A frequência em hertz é
f = omega2pi = 6,862pi approx 1,09;Hz

Resposta

A frequência da oscilação do pêndulo físico é aproximadamente 1,09;Hz

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