Considere um oscilador forçado e com amortecimento, em que um corpo de
de massa, presa a uma mola de constante de força igual a
, é excitado por uma força propulsora periódica com valor máximo
. Sob o sistema atua também uma força dissipativa com constante de amortecimento
.
(a) Qual é o valor da frequência angular de ressonância?
(b) Qual é a amplitude na ressonância?
(c) Quais são os valores para amplitude quando a frequência da força propulsora for igual a:
e
?
(d) Construa o gráfico da amplitude em função da frequência angular da força propulsora para os valores: 19,0 rad/s; 19,5 rad/s;
; e
.
(a) Qual é o valor da frequência angular de ressonância?
(b) Qual é a amplitude na ressonância?
(c) Quais são os valores para amplitude quando a frequência da força propulsora for igual a:
(d) Construa o gráfico da amplitude em função da frequência angular da força propulsora para os valores: 19,0 rad/s; 19,5 rad/s;
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades listadas abaixo.
Dados fornecidos:
- massa:
. - constante da mola:
. - amplitude da força de excitação:
. - coeficiente de amortecimento (dissipativo):
.
O enunciado pergunta:
(a) Qual é o valor da frequência angular de ressonância?
(b) Qual é a amplitude na ressonância?
(c) Quais são as amplitudes quando a frequência da força for e
?
(d) Construa o gráfico da amplitude em função da frequência angular para os pontos e
.
(a) Qual é o valor da frequência angular de ressonância?
(b) Qual é a amplitude na ressonância?
(c) Quais são as amplitudes quando a frequência da força for
(d) Construa o gráfico da amplitude em função da frequência angular para os pontos
Passo 2
Modelo físico e fórmula da amplitude — explicação didática e sem pular passos.
Um oscilador massa-mola amortecido e forçado por uma força harmônica obedece à equação diferencial
onde:
-
é o deslocamento (função do tempo), -
é a aceleração, -
é a velocidade, -
é a massa, -
é o coeficiente de amortecimento (força proporcional à velocidade), -
é a constante elástica da mola, -
é a amplitude da força externa, -
é a frequência angular da força externa.
Procuramos a solução de regime estacionário (solução particular) na forma
onde
é a amplitude dependente de
e
é o deslocamento de fase. Para obter
basta substituir essa forma na equação e igualar amplitudes; o resultado padrão (pode ser obtido agrupando termos em cosseno e seno ou usando representação complexa) é a expressão
Explicando em palavras: o denominador mede quanto a resposta da mola + amortecimento “resiste” à excitação em cada
; onde esse denominador for mínimo, a amplitude será máxima (ressonância).
Passo 3
Frequência natural e fórmula analítica da frequência de ressonância.
A frequência natural sem amortecimento é
A ressonância (frequência que maximiza
) ocorre quando o denominador
é mínimo. Fazendo a derivada de
em relação a
e igualando a zero obtém-se (mostrar os passos algébricos é padrão em cursos; aqui dou a fórmula resultante)
Observação didática: para amortecimento pequeno (caso frequente),
fica muito próxima de
. A fórmula acima é válida quando o sistema é subamortecido (caso usual, quando
não é muito grande).
Passo 4
Calcular numericamente
e
.
Calcular
:
Calcular
usando a fórmula:
Avaliação numérica do termo:
Logo
Conclui-se que, devido ao pequeno amortecimento, a frequência de ressonância praticamente coincide com
.
Passo 5
Amplitude na ressonância — fórmula e cálculo numérico.
A amplitude geral é
Para a frequência de ressonância
usando os números:
primeiro calcule . Com os valores já obtidos,
primeiro calcule
Calcule
:
Agora o denominador:
Assim a amplitude na ressonância é
Interpretação prática: com esses parâmetros a amplitude máxima é cerca de
, e o pico ocorre em
.
Passo 6
Cálculo das amplitudes para
,
e
. Vou também calcular
para usar no gráfico (parte (d)).
Usarei sempre
- Para
:
- Para
:
- Para
(ponto central/resonância aproximada):
- Para
:
Observação: os valores em
e
são simetricamente pequenos em torno de
, e a amplitude cresce rapidamente ao se aproximar da ressonância.
Passo 7
Construção do gráfico (instruções e pontos para plotar).
Para construir o gráfico da amplitude
em função da frequência angular
:
- Eixo horizontal:
(em ), eixo vertical: (em metros). - Plote os pontos calculados:
-
, -
, -
, -
.
-
- Conectar os pontos suavemente mostrará o pico pronunciado em torno de
(ressonância). Como o amortecimento é pequeno, o pico é alto e estreito.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Pontos para o gráfico
: