Considere um oscilador forçado e com amortecimento, em que um corpo de 1,5 \mathrm{~kg} de massa, presa a uma mola de constante de força igual a 600 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, é excitado por uma força propulsora periódica com valor máximo \mathrm{F}_{0}=0,50 \mathrm{~N}. Sob o sistema atua também uma força dissipativa com constante de amortecimento \mathrm{b}=0,143 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}.
(a) Qual é o valor da frequência angular de ressonância?
(b) Qual é a amplitude na ressonância?
(c) Quais são os valores para amplitude quando a frequência da força propulsora for igual a: 19,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ; 19,5 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ; e 21 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ?
(d) Construa o gráfico da amplitude em função da frequência angular da força propulsora para os valores: 19,0 rad/s; 19,5 rad/s; 20 \mathrm{rad} / \mathrm{s}; e 21 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades listadas abaixo.
Dados fornecidos:
  • massa: m=1,5\\ \mathrm{kg}.
  • constante da mola: k=600\\ \mathrm{N/m}.
  • amplitude da força de excitação: F_{0}=0,50\\ \mathrm{N}.
  • coeficiente de amortecimento (dissipativo): b=0,143\\ \mathrm{kg/s}.
O enunciado pergunta:
(a) Qual é o valor da frequência angular de ressonância?
(b) Qual é a amplitude na ressonância?
(c) Quais são as amplitudes quando a frequência da força for \,19{,}0\\ \mathrm{rad/s}\,,,\,19{,}5\\ \mathrm{rad/s} e \,21{,}0\\ \mathrm{rad/s}?
(d) Construa o gráfico da amplitude em função da frequência angular para os pontos \,19{,}0\\ \mathrm{rad/s}\,,\,19{,}5\\ \mathrm{rad/s}\,,\,20{,}0\\ \mathrm{rad/s} e \,21{,}0\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Modelo físico e fórmula da amplitude — explicação didática e sem pular passos.
Um oscilador massa-mola amortecido e forçado por uma força harmônica obedece à equação diferencial
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x = F_{0}\cos(\omega t),
onde:
  • x(t) é o deslocamento (função do tempo),
  • \ddot{x} é a aceleração,
  • \dot{x} é a velocidade,
  • m é a massa,
  • b é o coeficiente de amortecimento (força proporcional à velocidade),
  • k é a constante elástica da mola,
  • F_{0} é a amplitude da força externa,
  • \omega é a frequência angular da força externa.
Procuramos a solução de regime estacionário (solução particular) na forma
x(t)=A(\omega)\cos(\omega t-\varphi),
onde A(\omega) é a amplitude dependente de \omega e \varphi é o deslocamento de fase. Para obter A(\omega) basta substituir essa forma na equação e igualar amplitudes; o resultado padrão (pode ser obtido agrupando termos em cosseno e seno ou usando representação complexa) é a expressão
A(\omega)=\frac{F_{0}}{\sqrt{\bigl(k-m\omega^{2}\bigr)^{2}+\bigl(b\omega\bigr)^{2}}}.
Explicando em palavras: o denominador mede quanto a resposta da mola + amortecimento “resiste” à excitação em cada \omega; onde esse denominador for mínimo, a amplitude será máxima (ressonância).

Passo 3

Frequência natural e fórmula analítica da frequência de ressonância.
A frequência natural sem amortecimento é
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}.
A ressonância (frequência que maximiza A(\omega)) ocorre quando o denominador \!D(\omega)=(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}\! é mínimo. Fazendo a derivada de D(\omega) em relação a \omega e igualando a zero obtém-se (mostrar os passos algébricos é padrão em cursos; aqui dou a fórmula resultante)
\omega_{\text{res}}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{b^{2}}{2m^{2}}}.
Observação didática: para amortecimento pequeno (caso frequente), \omega_{\text{res}} fica muito próxima de \omega_{0}. A fórmula acima é válida quando o sistema é subamortecido (caso usual, quando b não é muito grande).

Passo 4

Calcular numericamente \omega_{0} e \omega_{\text{res}}.
Calcular \omega_{0}:
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{600}{1,5}}=\sqrt{400}=20{,}00\\ \mathrm{rad/s}.
Calcular \omega_{\text{res}} usando a fórmula:
\omega_{\text{res}}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{b^{2}}{2m^{2}}} =\sqrt{400-\frac{(0,143)^{2}}{2(1,5)^{2}}}.
Avaliação numérica do termo:
\frac{b^{2}}{2m^{2}}=\frac{(0,143)^{2}}{2(1,5)^{2}} =\frac{0,020449}{2\cdot 2{,}25} =\frac{0,020449}{4{,}5}=0{,}004544\ldots
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\omega_{\text{res}}=\sqrt{400-0{,}004544\ldots}=\sqrt{399{,}995456\ldots}=19{,}9999\\ \mathrm{rad/s}\approx 20{,}00\\ \mathrm{rad/s}.
Conclui-se que, devido ao pequeno amortecimento, a frequência de ressonância praticamente coincide com \omega_{0}=20{,}00\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Amplitude na ressonância — fórmula e cálculo numérico.
A amplitude geral é
A(\omega)=\frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}}}.
Para a frequência de ressonância \omega=\omega_{\text{res}} usando os números:
primeiro calcule k-m\omega_{\text{res}}^{2}=m(\omega_{0}^{2}-\omega_{\text{res}}^{2}). Com os valores já obtidos,
k-m\omega_{\text{res}}^{2}=1{,}5\cdot\bigl(400-399{,}995456\ldots\bigr)=1{,}5\cdot 0{,}004544\ldots=0{,}006816\ldots
Calcule b\omega_{\text{res}}:
b\omega_{\text{res}}=0{,}143\times 19{,}9999\approx 2{,}8600.
Agora o denominador:
\sqrt{(0{,}006816\ldots)^{2}+(2{,}86)^{2}}\approx\sqrt{0{,}0000465+8{,}1796}\approx 2{,}85999.
Assim a amplitude na ressonância é
A(\omega_{\text{res}})=\frac{0{,}50}{2{,}85999}\approx 0{,}1748\\ \mathrm{m}.
Interpretação prática: com esses parâmetros a amplitude máxima é cerca de 0{,}175\\ \mathrm{m}, e o pico ocorre em \approx 20{,}00\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Cálculo das amplitudes para \omega=19{,}0\\ \mathrm{rad/s}, \omega=19{,}5\\ \mathrm{rad/s} e \omega=21{,}0\\ \mathrm{rad/s}. Vou também calcular \omega=20{,}0\\ \mathrm{rad/s} para usar no gráfico (parte (d)).
Usarei sempre
A(\omega)=\frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}}}.
  1. Para \omega=19{,}0\\ \mathrm{rad/s}:
m\omega^{2}=1{,}5\times 19^{2}=1{,}5\times 361=541{,}5,
k-m\omega^{2}=600-541{,}5=58{,}5,
b\omega=0{,}143\times 19=2{,}717,
\sqrt{58{,}5^{2}+2{,}717^{2}}=\sqrt{3422{,}25+7{,}3821\ldots}\approx 58{,}5896,
A(19{,}0)=\frac{0{,}50}{58{,}5896}\approx 0{,}00854\\ \mathrm{m}.
  1. Para \omega=19{,}5\\ \mathrm{rad/s}:
m\omega^{2}=1{,}5\times 19{,}5^{2}=1{,}5\times 380{,}25=570{,}375,
k-m\omega^{2}=600-570{,}375=29{,}625,
b\omega=0{,}143\times 19{,}5=2{,}7885,
\sqrt{29{,}625^{2}+2{,}7885^{2}}=\sqrt{877{,}6406+7{,}775\ldots}\approx 29{,}756,
A(19{,}5)=\frac{0{,}50}{29{,}756}\approx 0{,}01681\\ \mathrm{m}.
  1. Para \omega=20{,}0\\ \mathrm{rad/s} (ponto central/resonância aproximada):
m\omega^{2}=1{,}5\times 400=600,
k-m\omega^{2}=0,\qquad b\omega=0{,}143\times 20=2{,}86,
\sqrt{0^{2}+2{,}86^{2}}=2{,}86,
A(20{,}0)=\frac{0{,}50}{2{,}86}\approx 0{,}17483\\ \mathrm{m}.
  1. Para \omega=21{,}0\\ \mathrm{rad/s}:
m\omega^{2}=1{,}5\times 21^{2}=1{,}5\times 441=661{,}5,
k-m\omega^{2}=600-661{,}5=-61{,}5,
b\omega=0{,}143\times 21=3{,}003,
\sqrt{(-61{,}5)^{2}+3{,}003^{2}}=\sqrt{3782{,}25+9{,}0180}\approx 61{,}582,
A(21{,}0)=\frac{0{,}50}{61{,}582}\approx 0{,}00812\\ \mathrm{m}.
Observação: os valores em \omega=19{,}0 e \omega=21{,}0 são simetricamente pequenos em torno de \omega\approx 20\\ \mathrm{rad/s}, e a amplitude cresce rapidamente ao se aproximar da ressonância.

Passo 7

Construção do gráfico (instruções e pontos para plotar).
Para construir o gráfico da amplitude A em função da frequência angular \omega:
  • Eixo horizontal: \omega (em \mathrm{rad/s}), eixo vertical: A(\omega) (em metros).
  • Plote os pontos calculados:
    • (19{,}0,\;0{,}00854),
    • (19{,}5,\;0{,}01681),
    • (20{,}0,\;0{,}17483),
    • (21{,}0,\;0{,}00812).
  • Conectar os pontos suavemente mostrará o pico pronunciado em torno de 20{,}0\\ \mathrm{rad/s} (ressonância). Como o amortecimento é pequeno, o pico é alto e estreito.

Resposta

(a) \omega_{\text{res}}=\sqrt{\dfrac{k}{m}-\dfrac{b^{2}}{2m^{2}}}\approx 19{,}9999\\ \mathrm{rad/s}\approx 20{,}00\\ \mathrm{rad/s}
(b) A(\omega_{\text{res}})\approx 0{,}1748\\ \mathrm{m}
(c) \;19{,}0\\ \mathrm{rad/s}:\;A\approx 0{,}00854\\ \mathrm{m}
\;19{,}5\\ \mathrm{rad/s}:\;A\approx 0{,}01681\\ \mathrm{m}
\;21{,}0\\ \mathrm{rad/s}:\;A\approx 0{,}00812\\ \mathrm{m}
(d) Pontos para o gráfico A(\omega):
(19{,}0,\;0{,}00854),\;(19{,}5,\;0{,}01681),\;(20{,}0,\;0{,}17483),\;(21{,}0,\;0{,}00812)

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