Em t =0 \mathrm{~s}, considere que o deslocamento do bloco de um oscilador linear em movimento MHS é de x(0)=-8,50 \mathrm{~cm}. A velocidade do bloco nesse instante é \mathrm{v}(0)=-0,920 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a aceleração é \mathrm{a}(0)=+47,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(a) Determine a frequência angular \omega do sistema;
(b) Quais são o valor da constante de fase \delta e o valor da amplitude A (valor máximo da posição).
(c) Escreva uma equação para x(t) desse sistema massa-mola.
(R: (a) 23,5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}; (b) \delta=2,71 \mathrm{rad} ou \delta=155^{\circ} ; \mathrm{A}=0,094 \mathrm{~m};

Passo 1

O enunciado dá os valores iniciais no instante t=0:
  • x(0) = -8,50\\ \text{cm}.
  • v(0) = -0,920\\ \mathrm{m/s}.
  • a(0) = +47,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Vou primeiro converter tudo para o SI (metros):
x(0) = -8,50\\ \text{cm} = -0,0850\\ \mathrm{m}.
As outras grandezas já estão em unidades SI:
v(0) = -0,920\\ \mathrm{m/s},\qquad a(0)=+47,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que a questão pede:
(a) determinar a frequência angular \omega do oscilador;
(b) determinar a constante de fase \delta e a amplitude A (valor máximo da posição);
(c) escrever a equação x(t) do movimento massa-mola (MHS) correspondente.

Passo 2

Relação útil para MHS com x(t)=A\cos(\omega t+\delta): a aceleração é proporcional e oposta à posição,
a(t) = -\omega^{2} x(t).
No instante t=0 isso dá
a(0) = -\omega^{2} x(0).
Aqui a(0) e x(0) são dados, então podemos isolar \omega:
\omega^{2} = -\frac{a(0)}{x(0)}.
Substituindo os números:
\omega^{2} = -\frac{47,0}{-0,0850} = \frac{47,0}{0,0850} = 552{,}941176\ldots
Tomando raiz quadrada:
\omega = \sqrt{552{,}941176\ldots} \approx 23{,}53\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando conforme resposta esperada:
\omega \approx 23{,}5\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Agora vamos achar A e \delta. Para x(t)=A\cos(\omega t+\delta) vale também
v(t) = -A\omega\sin(\omega t+\delta).
Em t=0 temos o sistema
x(0)=A\cos\delta,\qquad v(0)=-A\omega\sin\delta.
Uma forma direta de obter A é somar o quadrado das duas equações (pois \cos^{2}\delta+\sin^{2}\delta=1):
A^{2} = x(0)^{2} + \left(\frac{v(0)}{\omega}\right)^{2}.
Substituindo valores (usando \omega\approx23{,}529 mais exato durante cálculo):
x(0)^{2} = (-0,0850)^{2} = 0,007225,
\left(\frac{v(0)}{\omega}\right)^{2} = \left(\frac{-0,920}{23{,}529}\right)^{2} \approx ( -0,03912)^{2} \approx 0,001529.
Somando:
A^{2} \approx 0,007225 + 0,001529 = 0,008754.
Logo
A \approx \sqrt{0,008754} \approx 0,09357\\ \mathrm{m}.
Arredondando conforme resposta esperada:
A \approx 0,094\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Para obter \delta usamos as relações individuais. Primeiro:
\cos\delta = \frac{x(0)}{A} = \frac{-0,0850}{0,09357} \approx -0,9080.
E da velocidade:
\sin\delta = -\frac{v(0)}{A\omega} = -\frac{-0,920}{0,09357\cdot 23{,}529} = \frac{0,920}{2,200\ldots} \approx 0,4183.
Portanto \cos\delta<0 e \sin\delta>0: isso indica que \delta está no segundo quadrante (entre \pi/2 e \pi). Usando a função arco-tangente com a razão \tan\delta=\sin\delta/\cos\delta ou diretamente arco-cosseno e observando o quadrante, obtemos
\delta \approx 2{,}7106\\ \mathrm{rad}.
Convertendo para graus:
\delta \approx 2{,}7106\\ \mathrm{rad}\times\frac{180^\circ}{\pi}\approx 155{,}4^\circ.
Arredondando conforme resposta esperada:
\delta \approx 2{,}71\\ \mathrm{rad}\quad\text{ou}\quad 155^\circ.

Passo 5

Finalmente escrevemos a equação do movimento. Usando a forma x(t)=A\cos(\omega t+\delta) com os valores encontrados:
x(t)=0,094\cos\bigl(23,5\,t + 2,71\bigr)\\ \mathrm{m}.
Essa é a expressão do deslocamento em função do tempo (com t em segundos).

Resposta

(a) \omega = 23,5\\ \mathrm{rad/s}
(b) \delta = 2,71\\ \mathrm{rad} ou \delta = 155^\circ
(b) A = 0,094\\ \mathrm{m}
(c) \displaystyle x(t)=0,094\cos\bigl(23,5\,t + 2,71\bigr)\\ \mathrm{m}

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