Em t
, considere que o deslocamento do bloco de um oscilador linear em movimento MHS é de
. A velocidade do bloco nesse instante é
e a aceleração é
.
(a) Determine a frequência angular
do sistema;
(b) Quais são o valor da constante de fase
e o valor da amplitude A (valor máximo da posição).
(c) Escreva uma equação para
desse sistema massa-mola.
(R: (a)
; (b)
ou
;
(a) Determine a frequência angular
(b) Quais são o valor da constante de fase
(c) Escreva uma equação para
(R: (a)
Passo 1
O enunciado dá os valores iniciais no instante
:
-
. -
. -
.
Vou primeiro converter tudo para o SI (metros):
As outras grandezas já estão em unidades SI:
O que a questão pede:
(a) determinar a frequência angular do oscilador;
(b) determinar a constante de fase e a amplitude
(valor máximo da posição);
(c) escrever a equação do movimento massa-mola (MHS) correspondente.
(a) determinar a frequência angular
(b) determinar a constante de fase
(c) escrever a equação
Passo 2
Relação útil para MHS com
: a aceleração é proporcional e oposta à posição,
No instante
isso dá
Aqui
e
são dados, então podemos isolar
:
Substituindo os números:
Tomando raiz quadrada:
Arredondando conforme resposta esperada:
Passo 3
Agora vamos achar
e
. Para
vale também
Em
temos o sistema
Uma forma direta de obter
é somar o quadrado das duas equações (pois
):
Substituindo valores (usando
mais exato durante cálculo):
Somando:
Logo
Arredondando conforme resposta esperada:
Passo 4
Para obter
usamos as relações individuais. Primeiro:
E da velocidade:
Portanto
e
: isso indica que
está no segundo quadrante (entre
e
). Usando a função arco-tangente com a razão
ou diretamente arco-cosseno e observando o quadrante, obtemos
Convertendo para graus:
Arredondando conforme resposta esperada:
Passo 5
Finalmente escrevemos a equação do movimento. Usando a forma
com os valores encontrados:
Essa é a expressão do deslocamento em função do tempo (com
em segundos).
Resposta
(a)
(b) ou
(b)
(c)
(b)
(b)
(c)