Um corpo de massa \mathrm{m}=2,43 \mathrm{~kg} está preso a uma mola de constante elástica \mathrm{k}=221 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O corpo é puxado em uma superfície sem atrito por uma distância de x=11,6 \mathrm{~cm} a partir da posição de equilíbrio em x=0 e liberado sem velocidade inicial no instante \mathrm{t}=0.
(a) Determine a frequência angular, a frequência e o período do movimento.
(b) Determine o módulo da velocidade máxima \mathrm{v}_{\mathrm{m}} do corpo.
(c) Determine o módulo \mathrm{a}_{\mathrm{m}} da aceleração máxima do corpo.
(d) Determine a energia total armazenada no sistema.
(e) Se o bloco é abandonado em \mathrm{t}=0, com \mathrm{A}=11,6 \mathrm{~cm} e \delta=0, qual será sua posição, sua velocidade e sua aceleração em \mathrm{t}=0,215 \mathrm{~s}.
(R: (a) 9,54 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ; 1,51 \mathrm{~Hz} ; 0,66 \mathrm{~s} ; (b) 1,11 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; (c) 10,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; (d) 1,49 \mathrm{~J};

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (já convertidos quando necessário) e pede as grandezas listadas:
  • Massa do corpo: \,m=2{,}43\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: \,k=221\\ \mathrm{N/m}.
  • Deslocamento inicial (amplitude): \,A=11{,}6\\ \mathrm{cm}=0{,}116\\ \mathrm{m}.
  • O corpo é solto em \,t=0 sem velocidade inicial; por isso a fase inicial é \,\delta=0 e a posição inicial é x(0)=A.
O enunciado pede:
(a) frequência angular \,\omega, frequência \,f e período \,T do movimento;
(b) módulo da velocidade máxima \,v_{\mathrm{m}};
(c) módulo da aceleração máxima \,a_{\mathrm{m}};
(d) energia total armazenada no sistema \,E;
(e) posição x(t), velocidade v(t) e aceleração a(t) em \,t=0{,}215\\ \mathrm{s}, assumindo \,A=0{,}116\\ \mathrm{m} e \,\delta=0.

Passo 2

Fórmulas básicas para um oscilador massa-mola (movimento harmônico simples, sem atrito):
  • A frequência angular é dada por
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui \,k é a constante elástica (N/m) e \,m é a massa (kg). Essa fórmula vem do balanço entre a força restauradora da mola (-kx) e a massa (m) na equação m\ddot{x}=-kx, que leva a \ddot{x}+\dfrac{k}{m}x=0, solução harmônica com constante \omega^2=k/m.
Calculemos numericamente:
\frac{k}{m}=\frac{221}{2{,}43}\approx90{,}95\quad\Rightarrow\quad \omega=\sqrt{90{,}95}\approx9{,}54\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

A frequência (ciclos por segundo) e o período (tempo de um ciclo) relacionam-se com \omega por:
f=\frac{\omega}{2\pi},\qquad T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega:
f=\frac{9{,}54}{2\pi}\approx1{,}51\\ \mathrm{Hz}, \qquad T=\frac{1}{1{,}51}\approx0{,}66\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Velocidade máxima no MHS ocorre quando a energia potencial elástica é zero (passagem pela posição de equilíbrio). Fórmula simples:
v_{\mathrm{m}}=A\omega,
onde \,A é a amplitude (m) e \omega é a frequência angular (rad/s).
Calculemos:
v_{\mathrm{m}}=0{,}116\cdot9{,}54\approx1{,}11\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

A aceleração máxima ocorre nos extremos (quando |x|=A). A aceleração em MHS é a(t)=-\omega^{2}x(t), então o módulo máximo é
a_{\mathrm{m}}=A\omega^{2}.
Como \omega^{2}=k/m, também se pode usar a_{\mathrm{m}}=A\frac{k}{m}.
Calculemos:
a_{\mathrm{m}}=0{,}116\cdot(9{,}54)^{2}=0{,}116\cdot\frac{221}{2{,}43}\approx10{,}6\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Energia total do sistema massa-mola (sem atrito) é a energia máxima armazenada na mola quando o bloco está no extremo; corresponde à energia potencial elástica máxima:
E=\frac{1}{2}kA^{2}.
Explanação rápida: em MHS a energia mecânica se conserva e é alternadamente potencial elástica \frac{1}{2}k x^{2} e cinética \frac{1}{2}mv^{2}. No extremo x=\pm A a energia é toda potencial.
Calculemos numericamente:
A^{2}=(0{,}116)^{2}=0{,}013456,\qquad E=\tfrac{1}{2}\cdot221\cdot0{,}013456\approx1{,}49\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Equações temporais do MHS para as condições iniciais dadas (solto em t=0 com x(0)=A e v(0)=0): a fase é \delta=0 e
x(t)=A\cos(\omega t+\delta)=A\cos(\omega t),
v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega\sin(\omega t+\delta)=-A\omega\sin(\omega t),
a(t)=\ddot{x}(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t)=-\omega^{2}x(t).
Aqui: \,x(t) em metros, \,v(t) em m/s, \,a(t) em m/s².

Passo 8

Vamos avaliar em \,t=0{,}215\\ \mathrm{s}. Primeiro calculemos o argumento trigonométrico:
\theta=\omega t=9{,}54\cdot0{,}215\approx2{,}05\\ \mathrm{rad}.
Precisamos de \cos(\theta) e \sin(\theta). Calculando (aproximação via calculadora mental/aval. numérica):
\cos(2{,}05)\approx-0{,}464,\qquad \sin(2{,}05)\approx0{,}886.

Passo 9

Calcule a posição em \,t=0{,}215\\ \mathrm{s}:
x(0{,}215)=A\cos(\omega t)=0{,}116\cdot(-0{,}464)\approx-0{,}0538\\ \mathrm{m}.
Interpretação breve: sinal negativo indica que o corpo está do lado oposto da posição de equilíbrio em relação ao ponto de soltura.

Passo 10

Calcule a velocidade em \,t=0{,}215\\ \mathrm{s}:
v(0{,}215)=-A\omega\sin(\omega t)=-0{,}116\cdot9{,}54\cdot0{,}886\approx-0{,}981\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica que a velocidade está dirigida para o sentido negativo do eixo (movendo-se em direção ao equilíbrio do lado negativo).

Passo 11

Calcule a aceleração em \,t=0{,}215\\ \mathrm{s}. Usando a(t)=-\omega^{2}x(t) fica prático:
a(0{,}215)=-\omega^{2}x(0{,}215)=-\frac{k}{m}\cdot(-0{,}0538)\approx+4{,}90\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Sinal positivo indica que a aceleração está no sentido positivo (tendendo a puxar o corpo de volta ao centro).

Passo 12

Resumo numérico (arredondado de forma consistente) e um empurrãozinho final: você já tem as fórmulas principais e sabe como aplicar — calcule \omega com \sqrt{k/m}, depois derive todas as outras (velocidade máxima, aceleração máxima e energia) diretamente; para valores em um instante qualquer use as expressões com cosseno e seno. Vai dar certo na prova — respira fundo, reveja estes passos e pratique mais um exercício parecido.

Resposta

(a) \omega=9{,}54\\ \mathrm{rad/s};\quad f=1{,}51\\ \mathrm{Hz};\quad T=0{,}66\\ \mathrm{s}
(b) v_{\mathrm{m}}=1{,}11\\ \mathrm{m/s}
(c) a_{\mathrm{m}}=10{,}6\\ \mathrm{m/s^{2}}
(d) E=1{,}49\\ \mathrm{J}
(e) x(0{,}215)=-0{,}0538\\ \mathrm{m};\quad v(0{,}215)=-0{,}981\\ \mathrm{m/s};\quad a(0{,}215)=4{,}90\\ \mathrm{m/s^{2}}

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