Um corpo de massa
está preso a uma mola de constante elástica
. O corpo é puxado em uma superfície sem atrito por uma distância de
a partir da posição de equilíbrio em
e liberado sem velocidade inicial no instante
.
(a) Determine a frequência angular, a frequência e o período do movimento.
(b) Determine o módulo da velocidade máxima
do corpo.
(c) Determine o módulo
da aceleração máxima do corpo.
(d) Determine a energia total armazenada no sistema.
(e) Se o bloco é abandonado em
, com
e
, qual será sua posição, sua velocidade e sua aceleração em
.
(R: (a)
(b)
(c)
(d)
;
(a) Determine a frequência angular, a frequência e o período do movimento.
(b) Determine o módulo da velocidade máxima
(c) Determine o módulo
(d) Determine a energia total armazenada no sistema.
(e) Se o bloco é abandonado em
(R: (a)
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (já convertidos quando necessário) e pede as grandezas listadas:
- Massa do corpo:
- Constante elástica da mola:
- Deslocamento inicial (amplitude):
- O corpo é solto em
sem velocidade inicial; por isso a fase inicial é e a posição inicial é
O enunciado pede:
(a) frequência angular , frequência
e período
do movimento;
(b) módulo da velocidade máxima ;
(c) módulo da aceleração máxima ;
(d) energia total armazenada no sistema ;
(e) posição , velocidade
e aceleração
em
, assumindo
e
(a) frequência angular
(b) módulo da velocidade máxima
(c) módulo da aceleração máxima
(d) energia total armazenada no sistema
(e) posição
Passo 2
Fórmulas básicas para um oscilador massa-mola (movimento harmônico simples, sem atrito):
- A frequência angular é dada por
Aqui
é a constante elástica (N/m) e
é a massa (kg). Essa fórmula vem do balanço entre a força restauradora da mola
e a massa
na equação
, que leva a
, solução harmônica com constante
.
Calculemos numericamente:
Passo 3
A frequência (ciclos por segundo) e o período (tempo de um ciclo) relacionam-se com
por:
Substituindo
:
Passo 4
Velocidade máxima no MHS ocorre quando a energia potencial elástica é zero (passagem pela posição de equilíbrio). Fórmula simples:
onde
é a amplitude (m) e
é a frequência angular (rad/s).
Calculemos:
Passo 5
A aceleração máxima ocorre nos extremos (quando
). A aceleração em MHS é
, então o módulo máximo é
Como
, também se pode usar
.
Calculemos:
Passo 6
Energia total do sistema massa-mola (sem atrito) é a energia máxima armazenada na mola quando o bloco está no extremo; corresponde à energia potencial elástica máxima:
Explanação rápida: em MHS a energia mecânica se conserva e é alternadamente potencial elástica
e cinética
. No extremo
a energia é toda potencial.
Calculemos numericamente:
Passo 7
Equações temporais do MHS para as condições iniciais dadas (solto em
com
e
): a fase é
e
Aqui:
em metros,
em m/s,
em m/s².
Passo 8
Vamos avaliar em
. Primeiro calculemos o argumento trigonométrico:
Precisamos de
e
. Calculando (aproximação via calculadora mental/aval. numérica):
Passo 9
Calcule a posição em
:
Interpretação breve: sinal negativo indica que o corpo está do lado oposto da posição de equilíbrio em relação ao ponto de soltura.
Passo 10
Calcule a velocidade em
:
O sinal negativo indica que a velocidade está dirigida para o sentido negativo do eixo (movendo-se em direção ao equilíbrio do lado negativo).
Passo 11
Calcule a aceleração em
. Usando
fica prático:
Sinal positivo indica que a aceleração está no sentido positivo (tendendo a puxar o corpo de volta ao centro).
Passo 12
Resumo numérico (arredondado de forma consistente) e um empurrãozinho final: você já tem as fórmulas principais e sabe como aplicar — calcule
com
, depois derive todas as outras (velocidade máxima, aceleração máxima e energia) diretamente; para valores em um instante qualquer use as expressões com cosseno e seno. Vai dar certo na prova — respira fundo, reveja estes passos e pratique mais um exercício parecido.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)