Considere o oscilador harmônico clássico cuja energia é escrita como
E=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{1}{2} k q^{2}
onde m é a massa da partícula e k é a constante elástica. Determine o número de microestados do sistema com energia entre E e E+\delta E.

Passo 1

O enunciado dá o oscilador harmônico clássico com energia
E = \frac{p^{2}}{2m} + \frac{1}{2}k\,q^{2},
onde q e p são as coordenadas de fase. Queremos contar os microestados clássicos com energia entre E e E+\delta E. Na mecânica estatística clássica, o “número de microestados” é proporcional ao volume (aqui área) de fase acessível, isto é, à área da região em (q,p) limitada pelas curvas H(q,p)=E e H(q,p)=E+\delta E.

Passo 2

Para energia fixa E, a condição
\frac{p^{2}}{2m} + \frac{1}{2}k\,q^{2} = E
é a equação de uma elipse no espaço de fase, com semieixos
a_{p} = \sqrt{2mE}, \quad a_{q} = \sqrt{\frac{2E}{k}}.

Passo 3

A área interna dessa elipse (volume de fase até energia E) vale
\Omega(E) = \pi\,a_{p}\,a_{q} = \pi \,\sqrt{2mE}\,\sqrt{\frac{2E}{k}} = \frac{2\pi\,E}{\omega},
onde definimos \omega = \sqrt{\tfrac{k}{m}}.

Passo 4

O número de microestados entre E e E+\delta E é a diferença de área
\Omega(E+\delta E) - \Omega(E) \simeq \frac{d\Omega}{dE}\,\delta E.
Como
\frac{d\Omega}{dE} = \frac{d}{dE}\!\Bigl(\frac{2\pi E}{\omega}\Bigr) = \frac{2\pi}{\omega},
segue que a área do “anel” de energia é
\frac{2\pi}{\omega}\,\delta E.

Resposta

O número de microestados clássicos com energia em [E,E+\delta E] é proporcional a
\frac{2\pi}{\omega}\,\delta E,
onde \omega=\sqrt{k/m}.

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