Considere um conjunto de
osciladores harmônicos quânticos, unidimensionais, localizados e não interagentes. O hamiltoniano que descreve o sistema é dado por
onde
(a) Mostre que a energia por oscilador é escrita como
(b) Mostre que para temperaturas muito altas, o calor específico
converge para
Passo 1
O enunciado trata de um conjunto de
osciladores harmônicos quânticos independentes, cada um com espectro
O objetivo é usar a estatística canônica para encontrar a energia média por oscilador
e depois calcular o calor específico
no limite
.
Passo 2
Para um único oscilador, a função de partição canônica é
Como
para
, obtemos
onde
.
Passo 3
A energia média por oscilador no ensemble canônico é
Derivando, vem
que é exatamente o resultado pedido em (a).
Passo 4
O calor específico por oscilador é
com
, logo
. Calcula-se
Portanto
No limite de alta temperatura,
, podemos usar
, e então
Resposta
(a)
(b)
(b)