Considere um conjunto de N osciladores harmônicos quânticos, unidimensionais, localizados e não interagentes. O hamiltoniano que descreve o sistema é dado por
H=\sum_{i=1}^{N} H_{i},
onde
H_{i}=\left(n_{i}+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega .
(a) Mostre que a energia por oscilador é escrita como
U(T)=\frac{1}{2} \hbar \omega+\frac{\hbar \omega}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_{B} T}}-1} ;
(b) Mostre que para temperaturas muito altas, o calor específico c=\partial U / \partial T converge para
c(T \rightarrow \infty)=k_{B} .

Passo 1

O enunciado trata de um conjunto de N osciladores harmônicos quânticos independentes, cada um com espectro
E_{n}=\Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\hbar\omega\,,\quad n=0,1,2,\dots
O objetivo é usar a estatística canônica para encontrar a energia média por oscilador U(T) e depois calcular o calor específico
c(T)=\frac{\partial U}{\partial T}
no limite T\to\infty.

Passo 2

Para um único oscilador, a função de partição canônica é
Z=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\beta E_{n}} =\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\beta\bigl(n+\tfrac12\bigr)\hbar\omega} =e^{-\frac12\beta\hbar\omega}\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(e^{-\beta\hbar\omega}\bigr)^{n}
Como \sum_{n=0}^\infty x^n=1/(1-x) para |x|<1, obtemos
Z =e^{-\frac12\beta\hbar\omega}\,\frac{1}{1-e^{-\beta\hbar\omega}}\,,
onde \beta=1/(k_{B}T).

Passo 3

A energia média por oscilador no ensemble canônico é
U(T)=-\frac{\partial}{\partial \beta}\ln Z =-\frac{\partial}{\partial \beta}\Bigl[-\tfrac12\beta\hbar\omega -\ln\bigl(1-e^{-\beta\hbar\omega}\bigr)\Bigr].
Derivando, vem
U(T) =\tfrac12\hbar\omega +\frac{\hbar\omega\,e^{-\beta\hbar\omega}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}} =\frac12\hbar\omega +\frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}\,,
que é exatamente o resultado pedido em (a).

Passo 4

O calor específico por oscilador é
c(T)=\frac{\partial U}{\partial T} =\frac{\partial U}{\partial \beta}\frac{d\beta}{dT}
com \beta=1/(k_{B}T), logo d\beta/dT=-1/(k_{B}T^{2}). Calcula-se
\frac{\partial U}{\partial \beta} =\hbar\omega\, \frac{\partial}{\partial \beta}\!\Bigl[\tfrac12+ \frac{1}{e^{\beta\hbar\omega}-1}\Bigr] =\hbar\omega\, \frac{-\hbar\omega\,e^{\beta\hbar\omega}}{(e^{\beta\hbar\omega}-1)^{2}}.
Portanto
c(T) =\frac{\hbar^{2}\omega^{2}}{k_{B}T^{2}} \frac{e^{\beta\hbar\omega}}{(e^{\beta\hbar\omega}-1)^{2}}.
No limite de alta temperatura, \beta\hbar\omega\ll1, podemos usar e^{\beta\hbar\omega}\approx1+\beta\hbar\omega, e então
c(T\to\infty)\approx \frac{\hbar^{2}\omega^{2}}{k_{B}T^{2}} \frac{1}{(\beta\hbar\omega)^{2}} =k_{B}.

Resposta

(a) \displaystyle U(T)=\frac12\hbar\omega+\frac{\hbar\omega}{e^{\frac{\hbar\omega}{k_{B}T}}-1}.
(b) \displaystyle c(T\to\infty)=k_{B}.

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