Seja g(t)=f(3 t^{3}, t^{3}, e^{2 t}), suponha \frac{\partial t}{\partial n}(0,0,1)=4.
a) Expresse g^{\prime}(t) em termos das derivadas parciais de f

Passo 1

O enunciado define
g(t)=f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) \quad\text{com}\quad x(t)=3t^3,\;y(t)=t^3,\;z(t)=e^{2t},
e pede g'(t) em termos das derivadas parciais de f. O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas das funções internas:
x'(t)=\frac{d}{dt}(3t^3)=9t^2, \quad y'(t)=\frac{d}{dt}(t^3)=3t^2, \quad z'(t)=\frac{d}{dt}(e^{2t})=2e^{2t}.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
g'(t) =\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,x'(t) +\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,y'(t) +\frac{\partial f}{\partial z}\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,z'(t).

Resposta

g'(t) =9t^2\,f_x\bigl(3t^3,t^3,e^{2t}\bigr) +3t^2\,f_y\bigl(3t^3,t^3,e^{2t}\bigr) +2e^{2t}\,f_z\bigl(3t^3,t^3,e^{2t}\bigr).

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