Considere um oscilador harmônico fortemente amortecido submetido a uma força externa
então: (a) Encontre uma solução geral.
(b) Identifique as soluções estacionária e transiente.
(b) Identifique as soluções estacionária e transiente.
Passo 1
O enunciado nos dá um oscilador harmônico linear fortemente amortecido submetido a uma força externa. Vou escrever isso de forma explícita (pegando a forma usual do oscilador):
com
. O enunciado pede:
(a) encontrar a solução geral (que contém as constantes de integração que vêm das condições iniciais);
(b) identificar a solução estacionária (steady state) e a solução transiente (transient).
(a) encontrar a solução geral
(b) identificar a solução estacionária (steady state) e a solução transiente (transient).
Observações importantes que já extraio daqui:
- “Fortemente amortecido” significa que o discriminante da equação característica é positivo, isto é
. Logo as raízes da característica são reais e distintas; vou chamá-las de e . - Não foram dadas condições iniciais, então a solução geral deve conter constantes arbitrárias
.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada (a parte que gera os modos próprios, que formam a parte transiente típica).
A equação homogênea é
A equação homogênea é
A equação característica é
As raízes são
Como aqui
, as raízes
e
são reais e distintas e ambas negativas (porque
). Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes fixadas pelas condições iniciais.
Explicação curta: para uma EDO linear com coeficientes constantes, resolvemos a característica polinomial; cada raiz real
dá um termo
na solução homogênea. Como as raízes são negativas no caso amortecido, esses termos decaem para zero quando
.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa com
. Uma forma sistemática e prática é usar a função de Green (ou resposta ao impulso) e escrever
como convolução entre essa resposta e
. Vou explicar a ideia:
Defina
como a resposta do sistema unitário ao impulso
, isto é a solução de
No domínio de Laplace
tem transformada
. Fazendo frações parciais (usando as raízes
) obtemos, para
,
Propriedade útil: a resposta ao forçamento
com condições iniciais nulas é a convolução
(Na prática isso equivale ao método da transformada de Laplace; estou usando aqui a forma convolucional porque leva a um integral que conseguimos calcular explicitamente.)
Passo 4
Substituo
e
na integral de convolução. Assim, para
,
Coloco o fator constante fora da integral:
onde
Passo 5
Calculo
de forma explícita. Para cada
defina
. Então
Agora uso a primitiva conhecida de
. Para
,
Aplicando os limites
a
,
Logo, voltando para
,
Mas
. Portanto
Observação sobre caso especial: se alguma vez
(isto é,
), a fórmula usada divide por zero e o cálculo da integral muda: nesse caso
e o termo resultante será um polinômio em
multiplicado por
. Esse caso é uma ressonância do tipo exponencial e deve ser tratado separadamente; aqui vou assumir o caso genérico
. (Se for necessário, posso detalhar essa sub-caso.)
Passo 6
Substituo
e
na expressão de
. Temos
Isto é uma forma explícita da solução particular; verifique-se que todos os termos são combinações de expoenciais (ou
).
Passo 7
Agora monto a solução geral da EDO como soma da homogênea com a particular:
Aqui
e
representam as constantes arbitrárias que seriam determinadas por
e
.
Interpretação prática: todos os termos explícitos são coisas do tipo
,
,
e
. Como
e
, todos esses termos decaem para zero quando
.
Passo 8
Identificar a solução estacionária e a transiente.
-
Solução transiente: é a parte da solução que depende das constantes iniciais e que decai no tempo. Aqui isso inclui:
- a solução homogênea
; - e também as partes da solução particular que envolvem
e (surgem da resposta do sistema às componentes exponenciais da força); - e ainda os termos com
e (pois a força tem fator e essas surgem do convolution). Todos estes termos desaparecem quando .
- a solução homogênea
-
Solução estacionária (steady state): é o comportamento que permanece quando o transiente morreu, isto é
. Neste problema a força decai para zero quando (pois ), e os autovalores são negativos, então toda a solução vai tender a zero. Portanto a solução estacionária é identicamente zero:
Conclusão intuitiva: o forçamento é um “pulso” que cresce linearmente em
no início mas é rapidamente atenuado pelo fator
; como é um forçamento que some com o tempo, o sistema não fica com deslocamento permanente — tudo morre e volta ao repouso.
Resposta
(a)
onde
e
são constantes arbitrárias.\
(b) Solução estacionária: \
Solução transiente: toda a parte restante, ou seja
(b) Solução estacionária:
Solução transiente: toda a parte restante, ou seja
que tende para zero quando
.