Seja o sistema de coordenadas cilíndricas dado pela expressão
\vec{r}(\rho, \varphi, z)=\rho\left(\cos \varphi \hat{e}_{1}+\sin \varphi \hat{e}_{2}\right)+z \hat{e}_{3}
Então, escreva a velocidade e aceleração nesse sistema de coordenadas.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição no sistema de coordenadas cilíndricas:
\vec{r}(\rho,\varphi,z)=\rho\big(\cos\varphi\,\hat{e}_{1}+\sin\varphi\,\hat{e}_{2}\big)+z\,\hat{e}_{3}.
Informações relevantes e o que é pedido:
  • As coordenadas \rho,\varphi,z dependem do tempo, isto é, \rho=\rho(t), \varphi=\varphi(t), z=z(t).
  • Quer-se escrever a velocidade \vec{v}=\dfrac{d\vec r}{dt} e a aceleração \vec{a}=\dfrac{d^{2}\vec r}{dt^{2}} expressas no sistema cilíndrico (componentes nas bases \hat{e}_{\rho},\hat{e}_{\varphi},\hat{e}_{z}).

Passo 2

Definição das base unitárias cilíndricas em termos das bases cartesianas dadas \hat{e}_{1},\hat{e}_{2},\hat{e}_{3}:
\hat{e}_{\rho}=\cos\varphi\,\hat{e}_{1}+\sin\varphi\,\hat{e}_{2}, \qquad \hat{e}_{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{e}_{1}+\cos\varphi\,\hat{e}_{2}, \qquad \hat{e}_{z}=\hat{e}_{3}.
Observação importante (isso explica por que as bases mudam com o tempo): \hat{e}_{\rho} e \hat{e}_{\varphi} dependem de \varphi(t), logo têm derivadas temporais não nulas; \hat{e}_{z} é constante.

Passo 3

Calcular as derivadas temporais das bases usando a regra da cadeia (diferenciando em relação a t; aqui \dot{\varphi}=\dfrac{d\varphi}{dt}):
Derivando \hat{e}_{\rho}=\cos\varphi\,\hat{e}_{1}+\sin\varphi\,\hat{e}_{2} obtém-se
\dot{\hat{e}}_{\rho}=-\sin\varphi\,\dot{\varphi}\,\hat{e}_{1}+\cos\varphi\,\dot{\varphi}\,\hat{e}_{2}=\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi}.
Derivando \hat{e}_{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{e}_{1}+\cos\varphi\,\hat{e}_{2} obtém-se
\dot{\hat{e}}_{\varphi}=-\cos\varphi\,\dot{\varphi}\,\hat{e}_{1}-\sin\varphi\,\dot{\varphi}\,\hat{e}_{2}=-\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\rho}.
E claramente
\dot{\hat{e}}_{z}=\vec{0}.
Essas fórmulas são cruciais: a taxa de variação da direção radial vira componente azimutal proporcional a \dot{\varphi} e vice-versa com sinal trocado.

Passo 4

Calcular a velocidade aplicando a derivada à posição. Escrevendo \vec r=\rho\,\hat{e}_{\rho}+z\,\hat{e}_{z}, pela regra do produto:
\vec{v}=\dot{\vec r}=\dfrac{d}{dt}(\rho\,\hat{e}_{\rho})+\dfrac{d}{dt}(z\,\hat{e}_{z}).
Aplicando a regra do produto:
\dfrac{d}{dt}(\rho\,\hat{e}_{\rho})=\dot{\rho}\,\hat{e}_{\rho}+\rho\,\dot{\hat{e}}_{\rho}, \qquad \dfrac{d}{dt}(z\,\hat{e}_{z})=\dot{z}\,\hat{e}_{z}+\;z\,\dot{\hat{e}}_{z}.
Como \dot{\hat{e}}_{z}=\vec{0} e usando \dot{\hat{e}}_{\rho}=\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi}, obtemos
\vec{v}=\dot{\rho}\,\hat{e}_{\rho}+\rho\,\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi}+\dot{z}\,\hat{e}_{z}.
Interpretação física rápida (pra te animar): o termo \dot{\rho}\,\hat{e}_{\rho} é a velocidade radial (abrir/fechar), \rho\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi} é a velocidade tangencial (gira em torno do eixo), e \dot{z}\,\hat{e}_{z} é a velocidade ao longo do eixo z.

Passo 5

Preparação para derivar a aceleração: vamos derivar \vec{v}=\dot{\rho}\,\hat{e}_{\rho}+\rho\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi}+\dot{z}\,\hat{e}_{z} novamente, aplicando a regra do produto termo a termo e usando as derivadas das bases encontradas no Passo 3.

Passo 6

Derivando cada parcela:
  1. Derivada de \dot{\rho}\,\hat{e}_{\rho}:
\dfrac{d}{dt}\big(\dot{\rho}\,\hat{e}_{\rho}\big)=\ddot{\rho}\,\hat{e}_{\rho}+\dot{\rho}\,\dot{\hat{e}}_{\rho} =\ddot{\rho}\,\hat{e}_{\rho}+\dot{\rho}\,\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi}.
  1. Derivada de \rho\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi}: primeiro a derivada do escalar \rho\dot{\varphi} é \dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi}. Então
\dfrac{d}{dt}\big(\rho\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi}\big)=(\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\,\hat{e}_{\varphi}+\rho\dot{\varphi}\,\dot{\hat{e}}_{\varphi}.
Substituindo \dot{\hat{e}}_{\varphi}=-\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\rho}
\dfrac{d}{dt}\big(\rho\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi}\big)=(\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\,\hat{e}_{\varphi}-\rho\dot{\varphi}^{2}\,\hat{e}_{\rho}.
  1. Derivada de \dot{z}\,\hat{e}_{z}:
\dfrac{d}{dt}\big(\dot{z}\,\hat{e}_{z}\big)=\ddot{z}\,\hat{e}_{z},
porque \hat{e}_{z} é constante.

Passo 7

Somando as parcelas obtidas nos Passos anteriores e agrupando os termos em \hat{e}_{\rho},\hat{e}_{\varphi},\hat{e}_{z}:
  • Coeficiente de \hat{e}_{\rho}: \ddot{\rho} (do 1)) e -\rho\dot{\varphi}^{2} (do 2)), totalizando \ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^{2}.
  • Coeficiente de \hat{e}_{\varphi}: \dot{\rho}\dot{\varphi} (do 1)) e \dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi} (do 2)), totalizando 2\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi}.
  • Coeficiente de \hat{e}_{z}: \ddot{z}.
Portanto a aceleração fica
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^{2})\,\hat{e}_{\rho}+(2\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\,\hat{e}_{\varphi}+\ddot{z}\,\hat{e}_{z}.

Passo 8

Dois exemplos rápidos para fixar (sem provar, só para intuir):
  • Movimento circular uniforme: \rho=R constante ( \dot{\rho}=0,\ddot{\rho}=0), \dot{\varphi}=\omega constante ( \ddot{\varphi}=0), z= constante. Então
\vec{v}=R\omega\,\hat{e}_{\varphi},\qquad \vec{a}=-R\omega^{2}\,\hat{e}_{\rho},
o que é a aceleração centrípeta para dentro.
  • Movimento radial puro: \varphi= constante ( \dot{\varphi}=0), então
\vec{v}=\dot{\rho}\,\hat{e}_{\rho}+\dot{z}\,\hat{e}_{z},\qquad \vec{a}=\ddot{\rho}\,\hat{e}_{\rho}+\ddot{z}\,\hat{e}_{z},
ou seja, só há componentes nas direções radial e axial.

Resposta

\vec{v}=\dot{\rho}\,\hat{e}_{\rho}+\rho\dot{\varphi}\,\hat{e}_{\varphi}+\dot{z}\,\hat{e}_{z}
\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^{2})\,\hat{e}_{\rho}+(2\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\,\hat{e}_{\varphi}+\ddot{z}\,\hat{e}_{z}

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