Seja o sistema de coordenadas cilíndricas dado pela expressão
Então, escreva a velocidade e aceleração nesse sistema de coordenadas.
Passo 1
O enunciado nos dá a posição no sistema de coordenadas cilíndricas:
Informações relevantes e o que é pedido:
- As coordenadas
dependem do tempo, isto é, , , . - Quer-se escrever a velocidade
e a aceleração expressas no sistema cilíndrico (componentes nas bases ).
Passo 2
Definição das base unitárias cilíndricas em termos das bases cartesianas dadas
:
Observação importante (isso explica por que as bases mudam com o tempo):
e
dependem de
, logo têm derivadas temporais não nulas;
é constante.
Passo 3
Calcular as derivadas temporais das bases usando a regra da cadeia (diferenciando em relação a
; aqui
):
Derivando obtém-se
Derivando
Derivando
obtém-se
E claramente
Essas fórmulas são cruciais: a taxa de variação da direção radial vira componente azimutal proporcional a
e vice-versa com sinal trocado.
Passo 4
Calcular a velocidade aplicando a derivada à posição. Escrevendo
, pela regra do produto:
Aplicando a regra do produto:
Como
e usando
, obtemos
Interpretação física rápida (pra te animar): o termo
é a velocidade radial (abrir/fechar),
é a velocidade tangencial (gira em torno do eixo), e
é a velocidade ao longo do eixo
.
Passo 5
Preparação para derivar a aceleração: vamos derivar
novamente, aplicando a regra do produto termo a termo e usando as derivadas das bases encontradas no Passo 3.
Passo 6
Derivando cada parcela:
- Derivada de
:
- Derivada de
: primeiro a derivada do escalar é . Então
Substituindo
dá
- Derivada de
:
porque
é constante.
Passo 7
Somando as parcelas obtidas nos Passos anteriores e agrupando os termos em
:
- Coeficiente de
: (do 1)) e (do 2)), totalizando . - Coeficiente de
: (do 1)) e (do 2)), totalizando . - Coeficiente de
: .
Portanto a aceleração fica
Passo 8
Dois exemplos rápidos para fixar (sem provar, só para intuir):
- Movimento circular uniforme:
constante ( ), constante ( ), constante. Então
o que é a aceleração centrípeta para dentro.
- Movimento radial puro:
constante ( ), então
ou seja, só há componentes nas direções radial e axial.