Exercício 5: Transporte de energia pela massa em regime permanente
Uma panela de 8 \mathrm{~mm}^{2}, inicialmente contém 4 L de água e está a 150 kPa . Esta panela é aquecida durante 40 min e gera 0,6 \mathrm{~L} de vapor.
Determine:
a) a vazão mássica e a velocidade de vapor,
b) a energia específica total e a energia específica do escoamento do vapor e,
c) o calor fornecido em kW para a panela.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Área do orifício (seção) da saída do vapor: A=8\\ \mathrm{mm^{2}}=8\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Volume de água inicialmente na panela: 4\\ \mathrm{L} (não será necessário para as contas principais sobre vapor formado).
  • Pressão de operação (pressão de saturacão do vapor): p=150\\ \mathrm{kPa}.
  • Tempo de aquecimento: t=40\\ \mathrm{min}=2400\\ \mathrm{s}.
  • Volume de vapor gerado no período: V_{\text{vap}}=0{,}6\\ \mathrm{L}=6{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}.
O enunciado pede:
a) a vazão mássica \dot{m} do vapor e a velocidade do vapor w na saída;
b) a energia específica total e a energia específica de escoamento do vapor;
c) o calor fornecido em \mathrm{kW} para a panela (potência térmica fornecida).
Observação importante (que vou usar nos passos seguintes): assumo que o vapor gerado está na condição de vapor saturado à pressão p=150\\ \mathrm{kPa}. Para obter propriedades termodinâmicas (volumes específicos e entalpias) usei as tabelas de vapor saturado para p=150\\ \mathrm{kPa} (valores indicados no Passo 2).

Passo 2

Peguei na tabela de vapor saturado (para p=150\\ \mathrm{kPa}) os seguintes valores (valores lidos diretamente das tabelas de vapor saturado):
  • temperatura de saturação: T_{\text{sat}}\approx111{,}38^\circ\mathrm{C} (só para referência);
  • volume específico do vapor saturado: v_{g}=1{,}1593\\ \mathrm{m^{3}/kg};
  • entalpia do vapor saturado: h_{g}=2706{,}0\\ \mathrm{kJ/kg};
  • entalpia do líquido saturado: h_{f}=467{,}43\\ \mathrm{kJ/kg}.
Comentário didático rápido sobre esses termos (para você entender na prova):
  • v_g é o volume ocupado por 1\\ \mathrm{kg} de vapor saturado (unidade \mathrm{m^3/kg}). Se você tem um volume de vapor V, a massa correspondente é m=V/v_g.
  • h (entalpia específica) mede a energia interna mais o trabalho de fluxo ( h=u+Pv). Em problemas de escoamento, a energia carregada por uma corrente de massa costuma ser expressa em termos de entalpia h.
  • A caloria necessária para vaporizar massa m é Q=m\cdot(h_g-h_f)=m\cdot h_{fg}, onde h_{fg} é a entalpia latente de vaporização.

Passo 3

Calcular a vazão volumétrica média de vapor gerada (volume por unidade de tempo):
\dot{V}=\frac{V_{\text{vap}}}{t}=\frac{6{,}0\times10^{-4}}{2400}=2{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Agora a vazão mássica \dot{m}. Relação entre vazão volumétrica e vazão mássica para vapor saturado:
\dot{m}=\frac{\dot{V}}{v_{g}}.
Substituindo os números:
\dot{m}=\frac{2{,}5\times10^{-7}}{1{,}1593}=2{,}155\times10^{-7}\\ \mathrm{kg/s}.
Explicação didática: essa é a forma direta — primeiro converte o volume gerado por segundo, depois divide pelo volume ocupado por 1 kg de vapor para obter quantos kg/s isso representa.

Passo 4

Calcular a velocidade média do vapor na saída. A velocidade é a vazão volumétrica dividida pela área:
w=\frac{\dot{V}}{A}=\frac{2{,}5\times10^{-7}}{8\times10^{-6}}=0{,}03125\\ \mathrm{m/s}.
Comentário prático: note que a velocidade é muito baixa porque o volume gerado é muito pequeno e a seção não é tão pequena; na prova, sempre verifique as unidades: \mathrm{m^3/s} dividido por \mathrm{m^2} \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora definimos as energias específicas pedidas e calculamos numericamente.
Primeiro, alguns conceitos (didática):
  • Energia interna específica: u (unidade \mathrm{kJ/kg}).
  • Trabalho de escoamento (energia específica do escoamento ou “flow work”): Pv (unidade \mathrm{kJ/kg} se P em \mathrm{kPa} e v em \mathrm{m^3/kg}, porque \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m^3/kg}=\mathrm{kJ/kg}).
  • Entalpia específica: h=u+Pv. Em problemas de escoamento, a energia transportada pela massa é expressa como entalpia.
  • Energia específica total transportada pela massa (por unidade de massa em um escoamento) costuma ser:
e_{\text{total}} = h + \frac{w^{2}}{2} + gz,
onde \frac{w^{2}}{2} é a energia cinética por unidade de massa (em \mathrm{kJ/kg} após conversão) e gz a energia potencial. Se não houver diferença de altura significativa, toma-se gz\approx0.
Calcule o trabalho de escoamento Pv:
usar P em \mathrm{kPa} e v_g em \mathrm{m^3/kg} dá diretamente \mathrm{kJ/kg}:
P v_{g}=150\\ \mathrm{kPa}\times1{,}1593\\ \mathrm{m^{3}/kg}=173{,}895\\ \mathrm{kJ/kg}.
Calcular a energia interna específica u_g do vapor a partir de h_g:
u_{g}=h_{g}-P v_{g}=2706{,}0-173{,}895=2532{,}105\\ \mathrm{kJ/kg}.
Energia cinética por unidade de massa \frac{w^{2}}{2} (em \mathrm{J/kg}, converter para \mathrm{kJ/kg} dividindo por 1000):
\frac{w^{2}}{2}=\frac{(0{,}03125)^{2}}{2}=0{,}00048828\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}=0{,}00048828\\ \mathrm{J/kg}=4{,}8828\times10^{-7}\\ \mathrm{kJ/kg}.
Esse valor é desprezível diante das centenas ou milhares de \mathrm{kJ/kg}.
Assim entalpia (energia específica do escoamento, se a interpretarmos como entalpia) é:
h_{g}=2706{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
Energia específica total do vapor (entalpia mais energia cinética; aqui despreza-se gz):
e_{\text{total}}=h_{g}+\frac{w^{2}}{2}\approx2706{,}0+4{,}9\times10^{-7}\approx2706{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
Resumo numérico (valores relevantes):
  • trabalho de escoamento P v_{g}=173{,}895\\ \mathrm{kJ/kg};
  • energia interna u_{g}=2532{,}105\\ \mathrm{kJ/kg};
  • entalpia h_{g}=2706{,}0\\ \mathrm{kJ/kg} (energia específica de escoamento, no sentido de energia carregada pela massa);
  • energia específica total e_{\text{total}}\approx2706{,}0\\ \mathrm{kJ/kg} (o termo cinético é negligível).

Passo 6

Calcular o calor fornecido (potência térmica).
Primeiro a massa total vaporizada no processo de 40\\ \mathrm{min}:
m=\frac{V_{\text{vap}}}{v_{g}}=\frac{6{,}0\times10^{-4}}{1{,}1593}=5{,}1756\times10^{-4}\\ \mathrm{kg}.
A entalpia latente (por kg) é:
h_{fg}=h_{g}-h_{f}=2706{,}0-467{,}43=2238{,}57\\ \mathrm{kJ/kg}.
Energia total fornecida (calor) para vaporizar essa massa:
Q_{\text{total}}=m\cdot h_{fg}=5{,}1756\times10^{-4}\cdot2238{,}57\approx1{,}158\\ \mathrm{kJ}.
Em joules: 1{,}158\\ \mathrm{kJ}=1158\\ \mathrm{J}.
Potência média fornecida (em \mathrm{kW}), dividindo pela duração t=2400\\ \mathrm{s}:
\dot{Q}=\frac{Q_{\text{total}}}{t}=\frac{1{,}158\\ \mathrm{kJ}}{2400\\ \mathrm{s}}=4{,}825\times10^{-4}\\ \mathrm{kW}.
Em watts isso é 4{,}825\times10^{-4}\\ \mathrm{kW}\times1000=0{,}4825\\ \mathrm{W}.
Observação didática: também pode-se calcular diretamente pela vazão mássica:
\dot{Q}=\dot{m}\cdot h_{fg}=(2{,}155\times10^{-7})\cdot(2238{,}57)\approx4{,}823\times10^{-4}\\ \mathrm{kW},
mesmo resultado (pequenas diferenças numéricas de arredondamento).

Passo 7

Interpretação física rápida e incentivo: o número obtido para potência é muito pequeno (da ordem de alguns décimos de watt) porque a massa vaporizada é extremamente pequena (apenas cerca de meio grama de vapor no total). Em provas, verifique sempre se os volumes e as unidades fazem sentido — aqui os volumes eram em litros muito pequenos e por isso as potências também ficam pequenas.

Resposta

a) \dot{m}=2{,}155\times10^{-7}\\ \mathrm{kg/s} \quad w=0{,}03125\\ \mathrm{m/s}
b) e_{\text{total}}=h_{g}+\dfrac{w^{2}}{2}\approx2706{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}
energia específica do escoamento (entalpia): h_{g}=2706{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}
trabalho de escoamento P v_{g}=173{,}895\\ \mathrm{kJ/kg}
c) \dot{Q}=4{,}82\times10^{-4}\\ \mathrm{kW} (aprox.; equivalente a 0{,}482\\ \mathrm{W}).

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