Considere um oscilador harmônico de massa
, frequência natural de oscilação
e parâmetro de amortecimento
.
a) Suponha que o oscilador esteja em repouso na origem no instante
. Uma força
arbitrariamente concentrada ao redor de
age então sobre o oscilador, transmitindo a ele um impulso
,
. Encontre a solução
da equação de movimento para
, logo após a aplicação da força, no caso de amortecimento crítico.
b) Suponha novamente que o oscilador esteja em repouso na origem, agora no instante
. É aplicada uma força
arbitrária no oscilador para
. Determine
em termos de
e dos parâmetros do oscilador para o caso de amortecimento crítico, deduzindo todos os passos.
DICA: utilize o formalismo de funções de Green visto em aula, juntamente com o item anterior.
c) Se agora tivermos
, e se
agir sobre o oscilador para
, qual a solução
para o caso de amortecimento crítico? Justifique.
a) Suponha que o oscilador esteja em repouso na origem no instante
b) Suponha novamente que o oscilador esteja em repouso na origem, agora no instante
DICA: utilize o formalismo de funções de Green visto em aula, juntamente com o item anterior.
c) Se agora tivermos
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos (pegue-os como verdadeiros):
- Massa do oscilador:
. - Frequência natural:
. - Parâmetro de amortecimento:
. - A equação de movimento, na forma normalizada por
, é
ondeé a segunda derivada de em relação a e a primeira. - Condição de amortecimento crítico: os parâmetros satisfazem
. (Isto implica se .)
- Massa do oscilador:
-
Perguntas do enunciado:
(a) Supondo que, no instante, o oscilador está em repouso na origem, isto é e . Aplicam-se uma força impulsiva que transmite um impulso . Encontrar para no caso de amortecimento crítico.
(b) Supondo agora, e aplicando-se uma força arbitrária para , determinar em termos de e dos parâmetros do oscilador (amortecimento crítico). A dica pede uso de funções de Green.
(c) Para condições iniciais gerais, e força agindo para , qual é a solução no caso crítico?
A partir de agora começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Escrevendo a equação e explicando variáveis e a condição de amortecimento crítico.
- Equação de movimento (dividida por
):
Aqui:
-
é o deslocamento. -
é a velocidade. -
é a aceleração. -
é o coeficiente de amortecimento (unidade de ). -
é a frequência natural (unidade de ). -
é a força externa (unidade de Newton). -
é a massa (unidade de kg). -
Amortecimento crítico significa que o polinômio característico
tem uma raiz dupla, ou seja
. A raiz dupla vale
- A solução geral homogenea no caso crítico tem a forma
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Resolvendo (a): impulso
aplicado quando o sistema está em repouso na origem em
.
- Antes do impulso, para
, e (dado). - A força é um delta em
: para ver o efeito do delta, integro a equação de movimento em torno de , de até , com :
- Os termos que não contêm derivada de ordem 2 (isto é
e ) são finitos, e ao integrar em um intervalo que tende a zero contribuem com zero. O termo dominante é :
- Como
(repouso antes do impulso), obtemos a condição imediatamente após o impulso:
-
A posição é contínua sob um impulso finito, logo
. -
Para
o movimento é regido pela equação homogênea (já que o delta agiu só em ):
com condições iniciais em
:
- Resolver a homogênea no caso crítico: escrevemos a solução deslocando a origem do tempo para
(ou trabalhando com ). Para :
Aplicando
dá
.
A velocidade é
A velocidade é
Avaliando em
obtemos
. Igualando a
dá
.
- Portanto a solução para
(logo após o impulso) é
Observação: usando
(relação crítica), essa expressão fica
Passo 4
Construindo a função de Green causal para o operador
no caso crítico.
- Queremos
tal que
com condição causal
para
(isto garante resposta só após a fonte).
- Pelo mesmo raciocínio do impulso: integrar a equação para
entre e . Impõe-se continuidade (não há delta multiplicado por derivada de ), e o salto na derivada é
Como
e
(causalidade:
e sua derivada nula imediatamente antes), as condições iniciais para a solução homogênea válida para
são
- A solução da homogênea (caso crítico) para
é
Impondo
dá
. Impondo
dá
.
- Logo a função de Green causal é
onde
é a função de Heaviside (unit step), que força
a ser zero para
.
- Verificação rápida: para o impulso unitário
e , a resposta é , que coincide com o resultado do item (a) antes.
Passo 5
Usando a função de Green para resolver (b): força arbitrária
com
,
.
- Por linearidade do operador, a solução com condições iniciais nulas é a convolução da força normalizada por
com a Green:
- Como
atua apenas para e é causal, esse integral reduz-se a integral de até :
Esta é a solução pedida em (b): é uma fórmula de convolução onde o núcleo é
, que é exatamente a resposta ao impulso unitário.
- Observação prática (como usar na prova): se
for, por exemplo, uma força senoidal, exponencial, etc., você substitui e tenta calcular a integral (por partes ou transformada de Laplace). Mas a forma integral acima é a resposta geral.
Passo 6
Respondendo (c): condições iniciais gerais
,
e força
para
.
- O problema é linear, então a solução total é soma da solução homogênea que satisfaz as condições iniciais e da solução particular com condições homogêneas (zero) que vem da força:
- A parte particular com condição inicial nula é a da Passo 5:
e
.
- A parte homogênea
deve satisfazer a equação sem força e as condições iniciais originais. A forma geral (caso crítico) é
Impondo
dá
.
A velocidade de é
A velocidade de
Avaliando em
e impondo
(lembre que a parte particular começa com velocidade zero) obtemos
- Substituindo
e :
- Portanto a solução completa é
- Comentário físico: a primeira parcela é a evolução livre (decai sem força externa), a segunda parcela é a resposta acumulada da força externa, com memória dada por
. No caso crítico, a dependência linear em na parte livre aparece por causa da raiz dupla do polinômio característico.
Resposta
(a)
, para
.
(b)
(c)